Aloha :)
$$f(x)=e^{2x}-2e^x$$
1. Bestimmen der Ableitungen:$$f'(x)=2e^{2x}-2e^x$$$$f''(x)=4e^{2x}-2e^x$$$$f'''(x)=8e^{2x}-2e^x$$
2. Besimmen der Wendepunkte:
Kandidaten für Wendepunkte finden wir dort, wo die zweite Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=f''(x)=4e^{2x}-2e^x=\underbrace{2e^x}_{>0}\cdot(2e^x-1)\implies 2e^x-1=0\implies x=-\ln(2)$$Beachte, dass \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist, sodass die zweite Ableitung nur verschwinden kann, wenn der Faktor \((2e^x-1)\) verschwindet.
Wir prüfen den Wendepunkt-Kandidaten durch Einsetzen in die dritte Ableitung:$$\small f'''(-\ln(2))=8e^{-2\ln(2)}-2e^{-\ln(2)}=8e^{-\ln(4)}-2e^{-\ln(2)}=8\cdot\frac14-2\cdot\frac12=1\ne0\quad\checkmark$$
Mit dem Funktionswert \(\small f(-\ln(2))=-\frac34\) erhalten wir den Wendepunkt:$$\pink{W\left(-\ln(2)\big|-\frac34\right)}$$
3. Besimmen der Wendetangente
Die Tangente im Wendepunkt bei \(x_w=-\ln(2)\) hat die Form:$$t_w(x)=f(x_w)+f'(x_w)\cdot(x-x_w)$$Wir berechnen \(f(x_w)=-\frac34\) und \(f'(x_w)=-\frac12\) und erhalten:$$t_w(x)=-\frac34-\frac12\left(x-(-\ln(2)\right)=-\frac x2-\frac{\ln(2)}{2}-\frac34=-\frac x2-\frac{\overbrace{2\ln(2)}^{=\ln(4)}}{4}-\frac34$$$$\pink{t_w(x)=-\frac x2+\frac{\ln(4)+3}{4}}$$
~plot~ e^(2x)-2*e^x ; {-ln(2)|-3/4} ; -x/2-(ln(4)+3)/4 ~plot~
Teil b) Wo hat die Funktion den Wert 8 ?
Wir formen den Funktionsterm mit der 2-ten binomischen Formel um:$$f(x)=e^{2x}-2e^x=\left((e^x)^2-2\cdot e^x\pink{+1}\right)\pink{-1}=\left(e^x-1\right)^2-1$$und setzen ihn gleich \(8\):$$\left(e^x-1\right)^2-1=8\quad\big|+1$$$$\left(e^x-1\right)^2=9\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$e^x-1=\pm3$$Da \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt, ist \(e^x-1>-1\) und der Fall \((-3)\) fällt weg:$$e^x-1=3\quad\big|+1$$$$e^x=4\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\pink{x=\ln(4)}$$
