Bestimme Sie die Gleichung der Wendetangente von f

Question

Aufgabe:Gegeben ist die Funktion f(x)=e^2x-2*e^x

a) Bestimme Sie die Gleichung der Wendetangente von f

b) An welcher Stelle hat die f den Funktionswert y=8

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei den beiden Aufgaben helfen ? Danke

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=e^{2x}-2e^x$$

1. Bestimmen der Ableitungen:$$f'(x)=2e^{2x}-2e^x$$$$f''(x)=4e^{2x}-2e^x$$$$f'''(x)=8e^{2x}-2e^x$$

2. Besimmen der Wendepunkte:

Kandidaten für Wendepunkte finden wir dort, wo die zweite Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=f''(x)=4e^{2x}-2e^x=\underbrace{2e^x}_{>0}\cdot(2e^x-1)\implies 2e^x-1=0\implies x=-\ln(2)$$Beachte, dass $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb R$ ist, sodass die zweite Ableitung nur verschwinden kann, wenn der Faktor $(2e^x-1)$ verschwindet.

Wir prüfen den Wendepunkt-Kandidaten durch Einsetzen in die dritte Ableitung:$$\small f'''(-\ln(2))=8e^{-2\ln(2)}-2e^{-\ln(2)}=8e^{-\ln(4)}-2e^{-\ln(2)}=8\cdot\frac14-2\cdot\frac12=1\ne0\quad\checkmark$$

Mit dem Funktionswert $\small f(-\ln(2))=-\frac34$ erhalten wir den Wendepunkt:$$\pink{W\left(-\ln(2)\big|-\frac34\right)}$$

3. Besimmen der Wendetangente

Die Tangente im Wendepunkt bei $x_w=-\ln(2)$ hat die Form:$$t_w(x)=f(x_w)+f'(x_w)\cdot(x-x_w)$$Wir berechnen $f(x_w)=-\frac34$ und $f'(x_w)=-\frac12$ und erhalten:$$t_w(x)=-\frac34-\frac12\left(x-(-\ln(2)\right)=-\frac x2-\frac{\ln(2)}{2}-\frac34=-\frac x2-\frac{\overbrace{2\ln(2)}^{=\ln(4)}}{4}-\frac34$$$$\pink{t_w(x)=-\frac x2+\frac{\ln(4)+3}{4}}$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = e^(2x)-2·e^xP(-ln(2)|-3/4)f₂(x) = -x/2-(ln(4)+3)/4

Teil b) Wo hat die Funktion den Wert 8 ?

Wir formen den Funktionsterm mit der 2-ten binomischen Formel um:$$f(x)=e^{2x}-2e^x=\left((e^x)^2-2\cdot e^x\pink{+1}\right)\pink{-1}=\left(e^x-1\right)^2-1$$und setzen ihn gleich $8$:$$\left(e^x-1\right)^2-1=8\quad\big|+1$$$$\left(e^x-1\right)^2=9\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$e^x-1=\pm3$$Da $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb R$ gilt, ist $e^x-1>-1$ und der Fall $(-3)$ fällt weg:$$e^x-1=3\quad\big|+1$$$$e^x=4\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\pink{x=\ln(4)}$$

Answer 2

Zweite Ableitung bilden und 0 setzen → mögliche (auch tatsächliche) Wendestelle.

Funktionswert an dieser Stelle berechnen → Wendepunkt W.

Erste Ableitung an der Wendestelle → Anstieg m der Wendetangente.

Gleichung der Gerade durch W mit Anstieg m → Wendetangente.

Comments

Ist das nur a ?

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Erst einmal ja. Du musst doch nicht schon b) anfangen, wenn du bei a) noch hängst.

Wie lauten deine ersten beiden Ableitungen?

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Die a habe ich doch selber gelöst bekommen, ich verstehe nur nicht wie ich die b lösen muss. Ich hänge dort bei

8=e^x(1e^x-2)

Ich weiß nicht wie ich das nach x auflöse

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Die a habe ich doch selber gelöst bekommen,

Aha. Das ist also der Grund, warum du deine Frage mit

Bestimme Sie die Gleichung der Wendetangente von f

überschrieben hast.

Zu b) hast du inzwischen zwei Antworten bekommen.

Answer 3

a) t(x) = (x-x0)*f '(x0)+f(x0), x0 = Wendestelle

f '(x) = 2*e^(2x)-2e^x

f ''(x)= 4*e^(2x)-2e^x

b) https://www.mathelounge.de/1055770/an-welcher-stelle-hat-die-f-den-f…