Bestimmen Sie den Reihenwert.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Reihenwert.

(a) ∑ j=1 bis unendlich von ((2j+1)*7)/(4(1^3+2^3+...+j^3))

(b) ∑ j=1 bis unendlich von (1/(j+2)*(1/(j+1)-1/(j+3))

Problem/Ansatz:

(a) Habe die Summe in einigen Schritten umgeformt, sodass ich jetzt ∑(56j+28)/(j^2(j+1)^2) habe, weiter weiß ich nun aber nicht wie ich die Summe aufspalten und auf den Grenzwert kommen kann. Hab ein paar Sachen rumprobiert aber mit keinem komme ichs auf ergebnis

b hab ich leider gar keinen ansatz gefunden

bedanke mich für jede Hilfe im vorhinein!

Answer 1

Ich komme bei a) auf \(7\sum \frac{2j+1}{j^2(j+1)^2}\). Natürlich zieht man den Faktor raus, man will's ja einfach haben.

Nun Partialbruchzerlegung: Zerlege den Summanden in \(\frac{A}{j^2}+\frac{B}{(j+1)^2}\) (ist nicht der ganz allgemeine Ansatz, aber reicht hier). Danach Teleskopsumme.

b) kann auch als Teleskopsumme geschrieben werden (ohne PBZ), ist einfacher als a).

Ergebnis zur Kontrolle: a) 7, b) 1/6.

Comments

Habe bei der partialbruchzerlegung bei der a) 1/j^2-1/(j+1)^2 allerdings verstehe ich das mit der teleskopsumme nicht, habe mir dazu ein paar videos angeschaut aber verstehe nicht wie ich das da anwenden kann

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Schreib die Summe über \(\frac1{(j+1)^2}\) mit Indexverschiebung um als Summe über \(\frac1{j^2}\).

Bei Summenzeichen hilft meist auch es auszuschreiben als das wofür es steht - ist ja nur ein Abkürzungssymbol. Das geht prima und schnell ohne Internet.