Funktionalgleichung, Exponentialfunktion und Lösungsmenge

Question

Aufgabe:

Gebe alle stetigen Funktionen \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) an, welche die gegebene Funktionalgleichung erfüllen:

$$ f(x+y) = f(x) \cdot f(y) $$

Problem/Ansatz:

Hey Leute,

Ich weiß, dass es sich hier für stetige Funktionen nur um die Exponentialfunktion handelt. Allerdings komme ich nicht darauf wie ich beweisen kann, dass nicht weiter stetige Funktionen existieren, welche die Funktionalgleichung erfüllen.

Über Tipps würde ich mich freuen.

LG Syntax

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass dann schon f(x)=\exp \lambda x für ein \lambda ∈ ℝ gelten muss.

Stichworte: beweise,lambda,analysis

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, die in 0 stetig ist mit \( f(0) \neq 0 \), und der Funktionalgleichung
\( f(x+y)=f(x) \cdot f(y) \)
für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) genügt. Zeigen Sie, dass dann schon \( f(x)=\exp \lambda x \) für ein \( \lambda \in \mathbb{R} \) gelten muss.

Hat jemand einen Beweis dazu?

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Gibt es schon: vgl. https://www.mathelounge.de/1057734/funktionalgleichung-exponentialfunktion-losungsmenge

Answer 1

"Die" Exponentialfunktion? Welche genau?

Und es existiert noch eine weitere Funktion, die das erfüllt, aber keine Exponentialfunktion ist.

Überlege dir, was \( f(0) \) ist. Betrachte außerdem \( f'(0) \) (das funktioniert unter der Annahme der Differenzierbarkeit).

Ohne Differenzierbarkeit:

Man kann per Induktion zeigen, dass für \(f(1)=a\in\mathbb{N}\) gilt \(f(x)=a^x\).

Für \(a\in\mathbb{Z}\) folgt das Ganze dann, wenn man \(f(x+(-x))=f(0)=1)\) betrachtet.

Für die rationalen Zahlen kann man dann \(f(x\cdot \frac{1}{x})\) untersuchen und Stetigkeit führt dann schließlich dazu, dass es für alle \(x\in \mathbb{R}\)  gilt.

Comments

Hey Apfelmännchen,

vielen Dank für die schnelle Antwort. Die Nullfunktion und \(f(x) =1 \) würde die Funktionalgleichung auch noch erfüllen, oder ?

Bezüglich der Exponentialfunktion dachte ich, dass die Gleichung für alle Exponentialfunktionen der Art \( a^{x} \) erfüllt wird.

Leider komme ich immernoch nicht darauf wie man beweisen kann, dass die "Lösungsmenge" auf diese Funktionen beschränkt ist. :/

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Ja, die Nullfunktion erfüllt das ebenso.

Das wäre der Fall \( f(0)=0 \). Andererseits kann aber auch \( f(0)=1 \) sein. Jetzt muss man sich überlegen, warum die Gleichung nur durch Exponentialfunktioken erfüllt wird.

Das kann man machen, wenn man sich die Differenzierbarkeit in 0 anschaut und \( f'(0) \) betrachtet. Das führt auf eine DGL, deren Lösung gerade eine Exponentialfunktion ist.

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Die Aufgabe spricht nur von Stetigkeit?

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Differenzialrechnung hatten wir leider noch nicht. Gibt es vll noch eine andere Möglichkeit?

Nichtsdestotrotz, Differenzierbarkeit in 0 zu betrachten, würde dann heißen

$$lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)} {x - 0} = lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \\ lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)} {x} = lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} $$ zu rechnen und dann zu sehen, dass diese DGL nur durch die Exponentialfunktion erfüllt wird?

Verzeiht mir, wenn ich mich doof anstelle ^^

@Mathhilf Genau, Stetigkeit und, dass die Funktionalgleichung für alle \( x,y \in \mathbb{R} \) erfüllt wird (sorry, das habe ich oben in der Aufgabe vergessen :o).

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Trotzdem kann man sich die Differenzierbarkeit in 0 anschauen. Gut, dazu müsste man Differenzierbarkeit voraussetzen. Aber dazu steht ja erstmal nichts in der Aufgabe.

Zusammen mit der Definition von \(f'(x)\) folgt dann \(f'(x)=f'(0)f(x)\).

Aber ohne Differentialrechnung müsste man sich da weitere Dinge überlegen.

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1. f(0+0)=f(0)*f(0) , a:=f(1)

2. f(n) = f(1+1+ .. +1) = ...

3. f(1) = f(n * 1/n)

4. f(p/q) = ...

5. (jetzt zum ersten Mal mit Stetigkeit) : f(x) = ...

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y = 0 und y = 1 wären ja Sonderfälle der Exponentialfunktion

y = 0^x und y = 1^x

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Bei \(y=0^0\) wäre ich eher vorsichtig aufgrund der "Definition" von \(0^0\). Aber die Nullfunktion lässt sich wie gesagt sehr leicht durch Betrachtung des Falls \(f(0)=0\) nachweisen. Andernfalls muss ja \(f(0)=1\) gelten.

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Wie ist denn \(0^0\) definiert?$$\left.\begin{array}{c}\lim\limits_{x\searrow0}\left(0^x\right)=0\\[1ex]\lim\limits_{x\searrow0}\left(x^0\right)=1\end{array}\right\}\implies 0^0\stackrel?=\left\{\begin{array}{r}0\\[1ex]\frac12\\[1ex]1\end{array}\right.$$

Einige Profs definieren \(0^0\coloneqq1\), weil das vor allem den Umgang mit Potenzreihen erleichtert. Aber schlüssig ist das nicht wirklich.

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Es gibt eben keine einheitliche Definition. Und je nach Kontext variiert das dann.

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@Tschakabumba:

Worin liegt der Sinn dieser Aufgabe? Wo kommt sowas vor?

Answer 2

Hinweis: Erst einmal muss eine solche Funktion überall stetig sein, siehe dazu: https://www.mathelounge.de/1058250/f-in-0-stetig-f-auf-ganz-stetig

Es genügt also, zu zeigen, dass deine Funktion eine Exponentialfunktion auf allen rationalen Zahlen ist, wegen der Dichtheit von \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\). Hier könnte folgende Observation nützlich sein: Für natürliche Zahlen gilt zum Beispiel: \(f(n)=f(1)\cdot f(1)\cdot\ldots \cdot f(1) = f(1)^n = \exp(n\log f(1))\). Um negative ganzzahlige Funktionswerte zu bekommen könntest du herleiten, dass \(f(-n)=\frac{1}{f(n)}\) für alle natürlichen Zahlen \(n\) gilt. Schließlich könntest du dir überlegen, was \(f(\frac{1}{n})\) für ein natürliches \(n\) sein muss, und daraus, was \(f(p/q)\) für eine beliebige rationale Zahl ist.