Warum Binominalverteilung und keine Hypergeometrischeverteilung?

Question

"Bsp. 3: In einer Fertigungsabteilung ist bekannt, dass im Schnitt jedes 200. Stück Ausschuss ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Tagesproduktion von 1000 Stück
a) kein Stück
b) höchstens ein Stück
Ausschuss ist?"

Ich komme bei dem Beispiel auf p(0) = 0,66% und p(1) = 3,34%.

Stimmt das? Und von wo weiß ich genau das dass die Binominalverteilung ist? Warum ist das keine geometrische / hypergeometrische Wahrscheinlichkeit. Vielen Dank!

Answer 1

Die Grundgesamtheit ist sehr groß, die WKT klein. 1/200 = 0,005= 0,5% < 5%

Es ist wie Ziehen mit Zurücklegen. Wenn p<5 % ist, kann man so gut annähern.

Unter 1000 sind nur 5 Ausschussstücke zu erwarten.

a) P(X=0) = (1-0,005)^1000 = 0,00654 = 0,654%

b) P(X<=1)= P(X=0)+P(X=1)

P(X=1) = 1000*0,005*0,995^999 

P(X=1) siehe a)

Ansonsten müsste gesagt sein, wieviel Ausschuss exakt in den 1000 enthalten ist.

PS:

I

m Gegensatz zur Binomialverteilung werden bei der hypergeometrischen Verteilung die Stichproben nicht wieder in das Reservoir zur erneuten Auswahl zurückgelegt. Ist der Umfang n n der Stichprobe im Vergleich zum Umfang N N der Grundgesamtheit relativ klein (etwa n / N < 0 , 05 n/N<0{,}05), unterscheiden sich die durch die Binomialverteilung bzw. die hypergeometrische Verteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten nicht wesentlich voneinander. In diesen Fällen wird dann oft die Approximation durch die mathematisch einfacher zu handhabende Binomialverteilung vorgenommen.

Answer 2

Aloha :)

Hier hast du eine Zufallsvariable \(A\) für Ausschuss, die nur zwei mögliche Werte "Ja" oder "Nein" annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeit für ein "Ja" ist \(p=\frac{1}{200}\). Dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein "Nein" folglich \(q=\frac{199}{200}\). Solche Zufallsvariablen unterliegen der Binomialverteilung (daher das Bi im Namen).

zu a) Wir haben von \(n=1000\) Stücken \(k=0\) Stücke Ausschuss:$$p(k=0)=\binom{n}{0}\cdot\left(\frac{1}{200}\right)^0\cdot\left(\frac{199}{200}\right)^{1000-0}\approx0,006654=0,6654\%$$

zu b) Wir haben von \(n=1000\) Stücken \(k=0\) oder \(k=1\) Stücke Ausschuss:

$$p(k\le1)=p(k=0)+p(k=1)$$$$\phantom{p(k\le1)}=0,6654\%+\binom{1000}{1}\cdot\left(\frac{1}{200}\right)^1\cdot\left(\frac{199}{200}\right)^{1000-1}$$$$\phantom{p(k\le1)}\approx0,6654\%+0,033437=0,6654\%+3,3437\%=4,0091\%$$

Bei Teil a) hast du falsch gerundet, es muss auf 2 Stellen gerundet \(0,67\%\) heißen.

Bei Teil b) hast du die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass genau 1 Stück Ausschuss vorhanden ist. Die Frage war aber nach höchstens 1 Stück Ausschuss. Es sind also auch 0 Stücke Ausschuss möglich.