Aufgabe:
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Aufgabe 2.
Es sei \( \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right) \in S_{4} \) eine Permutation und
\( \mathcal{L}_{\sigma}: \mathbb{C}^{4} \rightarrow \mathbb{C}^{4}, \quad \mathcal{L}_{\sigma}\left(e_{i}\right)=e_{\sigma(i)} \)
die zugehörige Permutationsabbildung. Dabei sei \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right) \) die kanonische Basis des \( \mathbb{C}^{4} \).
a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( A:=M_{\mathcal{E}}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der kanonischen Basis \( \mathcal{E} \) \( \operatorname{des} \mathbb{C}^{4} \).
b) Bestimmen Sie die komplexen und reellen Eigenwerte von \( A \) und deren algebraische und geometrische Vielfachheiten.
c) Bestimmen Sie zu den reellẹn Eigenwerten je einen Eigenvektor.
