zeigen sie mit der hilfe der mathematischen indultion dass cn=g^(n+1) -1 gilt

Question

Aufgabe

sei n und g natürliche zahlen. sei b:=g-1. sei cn=bbb....b|g die natürliche zahl, derek g- aldarstellung aus genau n+1 b besteht. zeigen sie mit der hilfe der mathematischen indultion dass cn=g^(n+1) -1 gilt

Answer 1

Seien n und g natürliche Zahlen. Sei b:=g-1. Sei c_n=bbb....b_|g die natürliche

Zahl, deren g- aldarstellung aus genau n+1 b besteht.

Ind. anfang n=0: c₀ =  b_|g =b*1 = b = g-1 .     ✓

Angenommen es ist Sei c_n=bbb....b|g die natürliche

Zahl, deren g- aldarstellung aus genau n+1 b besteht.

Also Induktionsannahme:    c_n=g^(n+1) -1

Dann gilt: c_n+1 entsteht, wenn man vorne bei c_n noch ein b vorsetzt:

                    c_n+1 = b*gⁿ⁺¹ + c_n = b*gⁿ⁺¹ + gⁿ⁺¹ - 1

                                = (b+1)* gⁿ⁺¹ - 1   = (g-1+1)* gⁿ⁺¹ - 1

                                 =  g*gⁿ⁺¹ - 1   = gⁿ⁺² - 1  ✓