Zeige, dass für das Volumen der Halbkugel V = 2/3 π ⋅ r^3 gilt.

Question

Aufgabe:

Füllt man den Kegel und die Halbkugel komplett mit Wasser und schüttet dieses verlustfrei in den Zylinder,
ist sein Volumen komplett ausgefüllt. Zeige, dass für das Volumen der Halbkugel V = 2/3 π ⋅ r^3 gilt.

Wie oft passt das Volumen des Kegels in das der Halbkugel?

Problem/Ansatz:

Comments

Diese Aufgabe wird üblicherweise verwendet, um das Volumen der Halbkugel als Differenz der Volumina von Zylinder und Kegel mit Hilfe von Herrn Cavalieri NACHZUWEISEN.

Da hat sich der Aufgabensteller große Mühe gegeben, die Schönheit der Problemstellung durch unnötiges Verraten des Zusammenhangs der 3 Volumina mit dem Schlamm der Trivialität zu besudeln.

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Das ist aber keine Antwort, sondern viel mehr ein Kommentar.

Und die Vereinfachung der Aufgabe kommt eben durch die Verblödung der Gesellschaft. Man bekommt ja nichtmal diese Aufgabe hin. ;)

Answer 1

mit den guldinschen Regeln für Rotationskörper:

\(\displaystyle V_\text{Halbkugel} = \pi \int \limits_{0}^{r}\left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^2 \; dx = \frac{2}{3}\pi r^{3} \)

\(\displaystyle V_\text{Kegel} = \pi \int \limits_{0}^{r} (x)^{2} \; dx = \frac{1}{3}\pi r^{3} \)

\(\displaystyle V_\text{Zylinder} = \pi \int \limits_{0}^{r} (r)^{2} \; dx = \pi r^{3} \)

Comments

Für wen soll diese Antwort sein ?
Hast du dir deinen Link schon mal durchgelesen ?

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Jedenfalls nicht für die Unterstufe... Zumal es hier auch null um Rotationskörper geht.

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Ich bin ganz zuversichtlich, dass der Fragesteller sich selber melden kann, wenn er eine andere Antwort haben möchte.

Answer 2

Es gilt \( V_{\text{Zyl}}=V_{\text{Kegel}}+V_{\text{HKugel}} \). Stelle nach dem Volumen für die Halbkugel um und berechne das Volumen für Zylinder und Kegel allgemein mit den Größen \( r \) als Radius und als Körperhöhe.

Answer 3

V_Halbkugel = V_Zylinder - V_Kegel
V_Halbkugel = pi·r^2·r - 1/3·pi·r^2·r = 2/3·pi·r^3

V_Halbkugel / V_Kegel = 2/3·pi·r^3 / (1/3·pi·r^2·r) = 2 mal

Answer 4

Aloha :)

$$\qquad\qquad V_{\text{Halbugel}}\qquad\qquad+\quad\qquad\qquad V_{\text{Kegel}}\quad\qquad\qquad=\quad\qquad V_{\text{Zylinder}}$$$$\qquad\qquad V_{\text{Halbugel}}\qquad\qquad+\quad\frac13\cdot\text{Grundfläche}\cdot\text{Höhe}\quad\;\;\,=\quad \text{Grundfläche}\cdot\text{Höhe}$$$$\qquad\qquad V_{\text{Halbugel}}\qquad\qquad+\quad\quad\qquad\frac13\cdot\pi r^2\cdot r\quad\qquad\quad\;\;=\quad\qquad \pi r^2\cdot r$$$$\qquad\qquad V_{\text{Halbugel}}\qquad\qquad+\quad\qquad\qquad\!\!\frac13\cdot\pi r^3\;\qquad\qquad\quad\!=\quad\qquad \pi r^3$$$$\qquad\qquad\;\quad \Downarrow$$$$\qquad\qquad \;\frac23\cdot\pi r^3$$