Schnittpunkte folgender Kreise und Geraden: K: x^2+y^2-4x-6y-12=0; g:3x-4y-19=0

Question

Hallo Ich muss die Schnittpunkte folgendem Kreis und Gerader bestimmen.
K: x^2+y^2-4x-6y-12=0
g:3x-4y-19=0
Wie kann ich das bestimmen?

Answer 1

Nun, aus der Geradengleichung ergibt sich:

3 x - 4 y - 19 = 0

<=> 3 x = 19 + 4 y

<=> x = ( 19 + 4 y ) / 3

Einsetzen in die Kreisgleichung

( ( 19 + 4 y ) / 3 ) ² + y ² - 4 ( ( 19 + 4 y ) / 3 ) - 6 y - 12 = 0

ausmultiplizieren:

( 19 ² + 152 y + 16 y ² ) / 9 + y ² - ( 76 / 3 ) - ( 16 / 3 ) y - 6 y - 12 = 0

<=> ( 361 + 152 y + 16 y ² ) / 9 + y ² - ( 76 /  3 ) - ( 16 / 3 ) y - 6 y - 12 = 0

Gleichung mit 9 multiplizieren:

<=> 361 + 152 y + 16 y ² + 9 y ²  - 228  - 48 y - 54 y - 108 = 0

Zusammenfassen:

<=> 25 y ² + 50 y + 25 = 0

Durch 25 dividieren:

<=> y ² + 2 y + 1 = 0

<=> ( y + 1 ) ² = 0

<=> y + 1 = 0

<=> y = - 1

Einsetzen in die umgeformte Geradengleichung (oben fett gesetzt):

x = ( 19 + 4 y ) / 3

=> x = ( 19 - 4 ) / 3 = 5

 

Also:
Der Kreis K und die Gerade g haben nur einen Schnittpunkt, nämlich:

S ( 5 | - 1 )

Die Gerade g ist daher Tangente an den Kreis K im Punkt S.

Answer 2

Schnittpunkte sind immer Koordinatenpaare (x,y), die beide Gleichungen erfüllen.

Daher musst du die folgenden 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten nach den Unbekannten auflösen.

K: x^2+y^2-4x-6y-12=0         (I)

g:3x-4y-19=0          (II)

(II) -->

3x = 4y + 19

x = (4y + 19)/3       (I)'

in (I) einsetzen

((4y+19)/3)^2 + y^2  - 4(4y + 19)/3 - 6y -12 = 0       |*9

(4y + 19)^2 + 9y^2 - 12(4y + 19) - 63y - 108 = 0   
Nun diese Gleichung vereinfachen. Gibt voraussichtlich eine quadratische Gleichung. Bestimme die beiden y und dann mit Hilfe von (I)' noch die beiden zugehörigen x-Werte.