Warum ist Funktion f(x) = ln(4x²+1) nicht surjektiv?

Question

meiner Meinung nach müsste folgende Funktion surjektiv sein, weil es für mich so aussieht als ob jedem x mind. ein y zugeordnet werden kann:

f(x) = ln(4x²+1)

Laut Wolfram Alpha ist dies aber nicht so - kann mir jemand erklären warum?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3Dln%284x%C2%B2%2B1%29+surjective

Vielen Dank vorab!!

Answer 1

f(x) = ln(4x²+1)

Hier musst du erst mal angeben, was denn der Bildbereich sein soll.

f ist durchaus surjektiv, wenn der Bildbereich R_o^{+} ist.

Negative Funktionswerte können aber nicht rauskommen, da 4x^2 + 1 ≥ 1, wenn x eine reelle Zahl ist.

Daher nicht surjektiv, wenn Bildbereich R.

In deinem WolframAlpha-Link siehst du das, daran, dass die Graphen nicht unter die x-Achse kommen.

Comments

Also abgebildet werden soll die Funktion auf die positiven reellen Zahlen einschl. Null.
D.h. dann ist sie surjektiv?

Ich dachte nur, weil bei Wolfram Alpha bei "Range" schon automatisch "all non negative real numbers" und größer gleich Null steht, dass Wolfram Alpha dann ohnehin nicht von allen reellen Zahlen ausgeht?

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Ach ja, und den Definitionsbereich mussten wir selbst herausfinden, hier hätte ich mich für alle reellen Zahlen entschieden.

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Die schreiben ja 'onto R' in ihrer Antwort.

Da nehmen sie die negativen Werte mit.

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Ach ja, und den Definitionsbereich mussten wir selbst herausfinden, hier hätte ich mich für alle reellen Zahlen entschieden.

Das ist ok.

Answer 2

du hast hier keine Funktion angegeben, nur eine Abbildungsvorschrift. Eine Funktion hat aber auch eine Quelle/Definitionsbereich und Ziel/Wertemenge. Ohne dies ist das keine Funktion und die Frage nach Surjektivität kann nicht beantwortet werden.

Answer 3

Für die Surjektivität einer Funktion kommt es entscheidend auf den zu betrachtenen Bildbereich an.

WolframAlpha nimmt als Bildbereich die Menge der rellen Zahlen und dabei ergibt sich, dass f bezüglich dieses Bildbereiches nicht surjektiv ist (" ... is not surjective onto R... ")

Betrachtet man als Bildbereich jedoch nur die nichtnegativen reellen Zahlen ( R₀⁺ ) , dann ist f surjektiv. Es ist nämlich jedes y aus R₀⁺ Bild von f.