Aloha :)
Bei den Fällen (b) und (g) fehlt die Angabe der Basis bei \(\log(\cdots)\).
Das ist ungewöhnlich, denn die gebräuchlichen Abkürzungen sind:$$\ln(x)=\log_e(x)\quad;\quad\lg(x)=\log_{10}(x)\quad;\quad\operatorname{ld}(x)=\log_2(x)$$Anhand der Argiumente bei (b) und (g) vermute ich, dass ihr mit dem Leerer vereinbart habt, dass \(\log(\cdots)\) der Logarithmus zur Basis \(10\) ist.
Für die folgenden Umformungen brauchst du zwei wesentliche Rechenregeln:$$\large\sqrt[\red m]{a^{\green n}}=a^{\frac{\green n}{\red m}}\quad;\quad\frac{1}{a^n}=a^{-n}$$
Damit solltest du die Rechnungen hinkriegen:$$a)\;\;\log_4\left(\frac12\right)=\log_4\left(\frac{1}{\sqrt4}\right)=\log_4\left(\frac{1}{4^{\frac12}}\right)=\log_4\left(4^{-\frac12}\right)=-\frac12$$$$b)\;\;\log(\sqrt{1000})=\log(\sqrt{10^3})=\log(10^{\frac32})=\frac32$$$$c)\;\;\log_7\left(\frac{1}{\sqrt7}\right)=\log_7\left(\frac{1}{7^{\frac12}}\right)=\log_7\left(7^{-\frac12}\right)=-\frac12$$$$d)\;\;\log_{\frac12}(2)=\log_{\frac12}\left(\left(\frac12\right)^{-1}\right)=-1$$$$e)\;\;\log_9(27)=\log_9(9\cdot3)=\log_9(9\cdot\sqrt9)=\log_9(9\cdot9^{\frac12})=\log_9(9^{\frac32})=\frac32$$$$f)\;\;\small\log_{64}(16)=\log_{64}\left(64\cdot\frac14\right)=\log_{64}\left(64\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\right)=\log_{64}\left(64\cdot64^{-\frac13}\right)=\log_{64}\left(64^{\frac23}\right)=\frac23$$$$g)\;\;\log\left(\sqrt[3]{0,01}\right)=\log\left(\sqrt[3]{10^{-2}}\right)=\log\left(10^{-\frac23}\right)=-\frac23$$$$h)\;\;\log_8\left(\sqrt[3]{32}\right)=\log_8\left(\sqrt[3]{64\cdot\frac12}\right)=\log_8\left(\sqrt[3]{8^2\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{8}}}\right)=\log_8\left(\sqrt[3]{8^2\cdot8^{-\frac13}}\right)$$$$\quad\!=\log_8\left(\sqrt[3]{8^{\frac63}\cdot8^{-\frac13}}\right)=\log_8\left(\sqrt[3]{8^{\frac53}}\right)=\log_8\left(8^{\frac53\cdot\frac13}\right)=\log_8\left(8^{\frac59}\right)=\frac59$$
