Koordinaten von S berechnen in der Vektorgeometrie

Question

Die Punkte ()A0|0|0, ()B18|0|1,5, ()C12|10|1, ()D12|15|1 und ()E0|15|0 stellen modellhaft
die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar. Die Strecken AB und DE sind parallel. Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt.
Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch P(3,6|8|0,3) dargestellt . Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade g, die durch P verläuft und den Richtungsvektor v→(12|-4|1)  hat. Dabei bewegt sich
der Roboter auf den durch BC dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit S bezeichnet. Berechnen Sie mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von S.

Q(15,6|4|1,3) ist der Punkt, in dem die Gerade g die Strecke BC schneidet.

Problem/Ansatz:

Ich weiß schon dass |QS |=0,2/sin(φ) gilt und

(15,6|4|1,3)^T -1/✓(144+16+1)•(12|-4|1)•|QS|≈(15,6|4,1|1,3)^T

Leider verstehe ich die Lösung überhaupt nicht. Kann mir jemand von euch das anschaulich für die KA erklären?

Comments

Hilft zwar nicht auf dem Weg zur Lösung, schafft aber den Überblick:

Answer 1

Man macht einen Plan, z.B.:

Der Berührpunkt T liegt auf der Seite BQ - eine Tangente des Schnittkreises mit Mittelpunkt S: Von Q kommend biegen wir in T rechtwinklig auf einer Strecke 0.2 ∈ Rasenfläche (m) ab auf S

T= Q + t_1 (C-Q)

T + 0.2 u = S = (P + t_2 v)

entnehme 2 Gleichungen (x,y)

\(S \, :=  \, \left(15.31, 4.1, 1.28 \right)\)

Comments

Ok ein kleines bisschen klarer ist es.  Die Zeichnung habe ich verstanden. Aber was ist noch nicht verstehe:

Was sind die Richtungsvektoren u und v?

Und warum ist T= Q + t_1 (C-Q) bzw. T + 0.2 u = S = (P + t_2 v)?

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v ist gegeben

S liegt auf >Gerade g, die durch P verläuft und den Richtungsvektor v→(12|-4|1)  hat.<

T liegt auf Gerade , die durch C und Q (oder CB)  verläuft.

u ist 0.2 m lang liegt senkrecht zur geraden CB (CQ), zeigt von Tangentenpunkt T auf S

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Also ein bisschen bin ich weitergekommen. Ich verstehe nun wie sich die Gerade g ergibt.

g: x=(3,6|8|0,3)^T+r•(12|-4|1)

Wird beim Punkt T dann die x_3-Koordinate um 0,2 verändert, damit ich zum Punkt S komme? Mir ist klar, dass T+0,2u=S gilt. Und u müsste dann zum Beispiel der Vektor (0|0|1)^T sein oder?

Muss ich in T + 0.2 u dann für T= Q + t_1 (C-Q) einsetzen und das dann mit g gleichsetzen um auf S zu kommen?

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Mir ist aufgefallen dass ich noch den Winkel φ=41 Grad berechnen kann. Das ist der Winkel beim Punkt Q.

Damit kann ich die Länge der Strecke QS berechnen mit

QS=0,2/sin(41 Grad)

Hilft mir das weiter=?

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Hm,

bei mir beträgt der winkel ∠SQT = 40.573° (wenn der gemeint war) - es muss hier sehr genau gehen wegen der Größenverhältnisse.

u muss senkrecht auf BC stehen UND in der Ebene liegen, deshalb basteln wir aus 2 Vektoren der Ebene BA und BC den Vektor u' mit

u' BC = (λ_1 (A - B) + (C - B)) (C - B) = 0 (also u' ⊥ BC)

==> {λ_1 = -109 / 87}

==> u':=(480 / 29, 10, 40 / 29)

==> u = 0.2 u'/|u'|

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OK, vielen Dank ich finde deine Antwort nun echt logisch. Bei dem Winkel stand bei uns in der Schule dabei dass wir aufrunden sollen.

Mein Lehrer hat nun auch die Lösung gesagt, vielleicht kannst du die mir auch erklären? Ich würde die auch gerne verstehen.

Er rechnet:

Q-1/(|v|)•v•|QS|≈(15,3|4,1|1,3)^T

Damit kommt er auf die gleiche Lösung wie du. Ich versteh nur wieder nicht warum das jetzt gilt?

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Du kannst den Abstand |QS| über das ⊥-Dreieck SQT sin(φ) = 0.2/|QS| bestimmen (des wegen hast du wohl den winkel berechnet), aber du wolltest doch eigentlich Vektorgeometrie betreiben?

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Ja, wie ich |QS| berechne ist mir klar.

sin(φ) = 0.2/|QS| → |QS|=0,2/sin(41)≈0,30485

Aber wie komme ich dann auf die nachfolgende Rechnung?

Q-1/(|v|)•v•|QS|≈(15,3|4,1|1,3)T

Ja das ist bei uns in der Schule Vektorgeometrie. Ich finde es noch schwierig mir das ganze räumlich vorzustellen. Ich versteh deine Lösung komplett, würde gerne aber auch die Lösung von meinem Lehrer verstehen. Vielleicht hilft mir das weiter. Der hat nur die Rechnung oben an die Tafel geschrieben ohne wirkliche Erklärung und ich versteh nicht warum man so den Punkt S so berechnen kann.

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Schau dir mal GeoGebra an das unterstützt 3D Ansichten.

https://www.geogebra.org/3d

Ein Vektor v/|v| →  v wird durch seine Länge geteilt:

v/|v| ist 1Einheit lang

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Ah super danke mega anschaulich erklärt.

Und warum muss ich den Einheitsvektor von v •|QS| vom Punkt Q abziehen um auf den Punkt S zu kommen?

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Weil von Q nach S der Vektor in die entgegengesetzte Richtung von v zeigen muss....

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Stimmt ja oh man ich brauch gerade aber auch echt lange. Und warum genau den Einheitsvektor v •|QS|?

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Einheitsvektor ist v/|v| und nicht v!

Weil, siehe BIld, der Vektor von Q nach S reichen soll, d.h.|QS| lang ist!

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Und warum muss ich das nochmal mit dem Einheitsvektor multiplizieren und kann nicht nur |QS| abziehen?

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Weil |QS| eine Längenangabe, eine Zahl, ist und du einen VEKTOR angeben musst, der in Richtung -v weist und eine Länge hat die von Q nach S reicht, bei Q beginnt und bei S endet - entsprechen dem Abstand von Q und S = |QS| der Strecke von Q nach S..

Answer 2

Der Rasen wird als ebene Fläche dargestellt:

\( \vec{v} \)=\( \vec{PR} \). Gesucht ist S.

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Und was ist u?

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Ist R der Mittelpunkt des Kreises oder ist das S?

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Ich beziehe mich nicht auf die Antwort oder einen Kommentar von wächter. In der Aufgabe kommt \( \vec{u} \) nicht vor.

R ist der Mittelpunkt des Kreises (Rasenmähers) nachdem dieser die Strecke \( \overline{PR} \) durchlaufen hat. Kurz zuvor erreicht er S, sodass der Rasenmäher den Rand des Rasens berührt und seine Richtung ändert.

Answer 3

Hallo,

Gleichsetzen der Geraden g und h (durch B und C) ergibt folgendes Gleichungssystem:

\( \begin{array}{l}g:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3,6 \\ 8 \\ 0,3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}12 \\ -4 \\ 1\end{array}\right) \\[20pt] h:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}18 \\ 0 \\ 1,5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-6 \\ 10 \\ -0,5\end{array}\right) \\[25pt] \text { I     } 3,6+12r=18-6s \quad \rightarrow 12r+6s=14,4 \\ \text { II   } 8-4r=10s\quad \rightarrow-4 r-10s=-8 \\ \text { III } 0,3+r=1,5-0,5s \quad \rightarrow r+0,5s=1,2\end{array} \)

Damit ist r = 1 und s = 0,4 und daraus ergibt sich der Schnittpunkt Q, bei dem offenbar der Radius des Rasenroboters vernachlässigt wurde.

Gruß, Silvia

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Es wurde aber nicht nach Q sondern nach S gefragt