Flächenträgheitsmoment durch Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Flächenträgheitsmoment einer Fläche zwischen der Kurve $y=f(x)$ und der x-Achse im Bereich von a bis b:
$\begin{array}{l} I_{x}=\int \limits_{A} d I_{x}=\frac{1}{3} \cdot \int \limits_{a}^{b} y^{3} \cdot d x \\ I_{y}=\int \limits_{A} x^{2} \cdot d A=\int \limits_{a}^{b} x^{2} \cdot y \cdot d x \\ I_{x y}=\int \limits_{A} x \cdot y \cdot d A=\frac{1}{2} \cdot \int \limits_{a}^{b} x \cdot y^{2} \cdot d x \end{array}$

Gesucht ist das Flächenträgheitsmoment Iy von der Kurve y=3x²+4. Flächenträgheitsmoment Ix ist soweit verständlich, ich mir bei der Formel für Iy nicht sicher wofür das x² steht. Hoffe mir kann da jemand weiter helfen. Soweit ich das verstanden habe, wird auch für Iy in x-Richtung integriert.

Answer 1

Aloha :)

Das Trägheitsmoment einer Massendichte $\rho(\vec r)$ ist definiert als:$$I=\int\limits_V{\vec r\,}^2_\perp\,\rho(\vec r)\,dV$$Darin ist $\vec r_\perp$ der orthogonale(!) Abstand von der Rotationsachse.

Hier wird das Flächenträgheitsmoment gesucht. Das Volumen $V$ wird dabei durch die Fläche $F$ ersetzt und die Massendichte $\rho(\vec r)$ wird durch die konstante Flächendichte $1\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^2}$ ersetzt:$$I=\int\limits_F{\vec r\,}^2_\perp\,dF$$

Bei der Rotation der Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion $f(x)$ um die $x$-Achse, ist der senkrechte Abstand des Punktes $(x|y)$ von der Rotationsachse gleich $y$, daher gilt:$$I_x=\int\limits_{x=a}^{b}\;\int\limits_{y=0}^{f(x)} y^2\,dx\,dy=\int\limits_{x=a}^{b}\left(\;\;\int\limits_{y=0}^{f(x)} y^2\,dy\right)\,dx=\int\limits_{x=a}^{b}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^{f(x)}dx=\frac13\int\limits_{x=a}^bf^3(x)\,dx$$

Bei der Rotation der Fläche um die $y$-Achse ist der senkrechte Abstand des Punktes $(x|y)$ von der y-Achse gleich $x$, daher gilt:$$I_y=\int\limits_{x=a}^{b}\;\int\limits_{y=0}^{f(x)} x^2\,dx\,dy=\int\limits_{x=a}^{b}\left(x^2\int\limits_{y=0}^{f(x)} dy\right)\,dx=\int\limits_{x=a}^bx^2\left[y\right]_{y=0}^{f(x)}dx=\int\limits_{x=a}^bx^2\,f(x)\,dx$$

Das Moment $I_{xy}$ hat eine Sonderstellung. Es ist ein Element des Trägheitstensors. Es beschreibt nicht die Rotation um eine Achse, sondern ist ein sogenanntes "Deviationsmoment". Es ist ein Maß für das Bestreben eines rotierenden Körpers seine Rotationsachse zu verändern, wenn der Körper nicht um eine seiner Hauptachsen rotiert. Das im Detail zu eräutern gehört ins Physik-Forum, daher musst du die Formel hier einfach "glauben". Diese Deviationsmomente möchte man immer möglichst nahe bei Null haben, damit die Rotation stabil ist. Andernfalls geht z.B. die Waschmaschine bei drehender Trommel auf Wanderschaft ;)

Das $x$ steht also tatsächlich für die $x$-Koordinate des gerade betrachteten Punktes der Fläche.

Comments

Dankeschön, das würde dann in diesem fall bedeuten ich bestimme den Schwerpunkt in x-Richtung der Fläche und setzte ihn dann einfach ein?

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Zur Berechnung setzt du einfach den Term für $f(x)$ ein:$$I_y=\int\limits_a^bx^2\,f(x)\,dx=\int\limits_a^bx^2(3x^2+4)dx=\int\limits_a^b(3x^4+4x^2)dx$$$$\phantom{I_y}=\left[\frac35x^5+\frac43x^3\right]_a^b$$Wenn du nun $a$ und $b$ kennst, kannst du das Trägheitsmoment um die $y$-Achse angeben.

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Ich hätte noch eine zweite Frage zu der Funktion. "Wie groß ist das Flächenträgheitsmoment dieser Fläche bzgl. einer Parallelen zur x-Achse durch den Schwerpunkt der Kurve von f(x)?"

Leider habe ich dazu auch keinen Ansatz

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Oha, habt ihr den Satz von Steiner im Unterricht nicht besprochen?

Damit kann man das sehr schnell berechnen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz

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Doch, komme aber leider immer noch nicht darauf wie ich es damit berechne

Answer 2

Hallo

x von x² steht für den Abstand von der y- Achse. das ist in deiner Graphik ja auch angezeigt. Integriert wird immer über dA=dxdy

Ix=$\int\limits_{A} y^2dydx$

lul