Der zweite Stetigkeitsbeweis

Question

Ich hätte eine Frage, ob ich den zweiten Beweis nun richtig gemacht habe.

Nun die Aufgabe

Wichtig: f: ]a,b[ -> R ist eine stetige Funktion (Voraussetzung)

Hier nun das, was ich unter dieser Voraussetzung zeigen sollte und mein Ansatz:

Text erkannt:

b) Zeige: Ist \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=\infty \& \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty \), so gilt \( f] a, b\left[=\left[c, \infty\left[\right.\right.\right. \) für \( c \in \mathbb{R} .\left(\operatorname{im}_{x \rightarrow b}(f):=f\right] a, b[) \)
Beweis:
Es gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=\infty \& \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty \) für \( \left.f:\right] a, b[\rightarrow \mathbb{R} \).
Offensichtlich ist \( \operatorname{lim}(f) \) nach oben unbeschränkt, denn für größer/kleiner werdende Argumente, werden die Funktionswerte unendlich groß.
Jedoch ist \( \operatorname{lim}(f) \) nach unten beschränkt, denn angenommen es wäre nicht so, d.h. es müsste dann ein \( k \in] a, b[ \) geben mit \( \lim \limits_{x \rightarrow k} f(x)=-\infty \).
Doch das widerspricht der Bedingung \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=\infty \) oder \( \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty \), (Je nachdem, ob \( k \) in der \( a \)-Umgebung oder in der b-Umgebung liegt.)
Denn damit das gelten darf, müsste \( K \) eine Asymtote sein \& das ist ein Widerspruch für die Stetigheit von \( f \) in \( ] a, b \). Also ist \( \operatorname{im}(f) \) nach unten beschränkt, d.h. \( \exists c \in \operatorname{im}(f) \) mit \( c \leqslant f(x) \forall x \in] a, b[ \). Damit gilt \( \operatorname{im}(f)=[c, \infty[ \).

(Kurze Ergänzung: Wenn k eine asymtotische Stelle wäre, müsste man ja für das Erhalten der Stetigkeit den Definitionsbereich als ]-unendlich, k[ U ]k, unendlich[ definieren, da f(k) ja nicht existieren würde.)

Answer 1

Das mit der Asymptote verstehe ich nicht: \(k\) ist eine Zahl, eine Asymptote wäre eine Gerade. Passt nicht. Ist auch nicht nötig hier. Es reicht zu argumentieren, dass an den Rändern kein \(\lim=-\infty\) auftreten kann, wg Vor., und immer Innern sowieso nicht (wg stetig).

Aber in den letzten zwei Zeilen wird's unsauber: Ja, \(im(f)\) ist nach unten beschränkt, also gibt es \(c\in \R\) (!!!) mit \(c\le f(x)\) für alle \(x\in (a,b)\).

Dass es so ein \(c\in im(f)\) gibt, ist erstmal nicht klar, und darum geht es aber in der Aussage.

Comments

Danke erstmal für das Feedback! Besser wäre zu sagen, k wäre eine asymtotische Stelle. Ja also die Aussage soll einfach die Argumentation stärken. Damit zeigt man ja aber, das die Bildmenge nicht unbeschränkt sein darf, denn das wäre ja ein Wiederspruch zur Stetigkeit und das heisst ja wiederum das im(f) nach unten beschränkt sein muss, also muss es ja dieses c geben. Reicht das als Aussage dazu?

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Ich hab ja oben eine Argumentation gegeben, die ohne den Asymptotenbegriff auskommt. Auch das mit den Umgebungen ist unnötig. Was Du "asymptotische Stelle" nennst, ist schlicht eine Definitionslücke (die es aber eben nicht gibt). Halte die Erklärungen stets so einfach wie möglich.

Das ist die Begründung für \(c\in\R\), aber der Beweis ist damit noch nicht fertig.

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Ich würde noch hinzufügen:

Da nun im(f) nach unten beschränkt ist, gibt es ein d aus ]a,b[ mit c := f(d) = min(im(f)).

Also gilt: f(]a, d]) = [c, unendlich[ und

f([d, b[) = [c, unendlich[, wodurch insgesamt f(]a,b[) = f( ]a,d] U [d, b[ )  = [c, unendlich[ U [c, unendlich[ = [c, unendlich[ gilt.

(Noch wichtig zu sagen ist, da f stetig ist, sind die Bilder der Intervalle auch Intervalle)

Ist das jetzt so korrekt?

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Du musst zeigen, dass es dieses \(d\) gibt. Das ist eben erstmal nicht so klar, weil der Defbereich ja ein offenes Intervall ist. Ich würde so sagen:
Da die beiden \(\lim\) am Rand \(\infty\) sind, gibt es \(a_1,b_1\in (a,b)\) mit \(a_1<b_1\) und \(f(x)\ge f(a_1)\) für alle \(x\in (a,a_1]\) und \(f(x)\ge f(b_1)\) für alle \(x\in [b_1,b)\). Sei nun \(c:=\min \{f(x) | x\in [a_1,b_1]\}\). Das gibt es, weil wir nun ein abgeschlossenes Intervall haben und \(f\) darauf stetig ist. Nach Konstruktion gilt dann aber auch \(c=\min \{f(x) | x\in (a,b)\}\). Damit folgt \([c,\infty) =f((a,b))\).

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Danke der Ansatz ist echt gut!

Hab noch eine Frage zu meinem:

dieses d gibt es doch aber schon, da es ja dieses c gibt und das d dieses c abbildet. Meine Idee da sollte sein, das es halt aufgrund der unteren Beschränktheit des Bildes von f es ein Minimum geben muss und dieses bezeichne ich hier als c und da dieses ja existiert, hat es aufgrund der Stetigkeit von f auch ein Urbild d.

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Der entscheidende Punkt ist halt: Gibt es ein minimum von f auf (a,b)? Das ist (für mich) nicht klar. Es gibt ein infimum, ja (wg Beschränktheit nach unten), aber gibt es auch ein minimum? Vielleicht kann man da auch irgendeinen eleganten Satz zitieren, aber einfach sagen, "es gibt ein minimum" überzeugt mich nicht.

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Verstehe die Begründung wegen dem Minimum fehlt. Danke jetzt ist mir das klar. Das müsste man noch machen.

Ich hätte noch eine letzte Frage:

Reicht es denn hier für den Beweis nicht zu folgern, das f(]a,b[) = [c, unendlich[ ist, denn hier war ja ausschließlich das zu zeigen. Das kann man ja dann einfach mit der Begründung: Da f stetig ist, ist das Bild von ]a,b[ auch ein Intervall & da c Infimum ist, ist c die untere Grenze des Intervalls vom Bild und nach oben ist es ja wie zuvor gesagt unbeschränkt.

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Nein, weil ein Infimum eben kein Minimum sein muss und es damit auch \(f((a,b))=(c,\infty)\) sein könnte.

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Verstehe.

Tut mir echt leid, aber könnte ich noch eine Frage zu deinem Ansatz stellen?

Was meinst du bei deinem Ansatz mit ,,Konstruktion‘‘ genau, also wie kommst du dann auf dieses c?

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c ist def. als das minimum auf \([a_1,b_1]\). Auf \((a,a_1)\) gilt nach Konstruktion \(f(x)\ge f(a_1)\ge c\), analog am anderen Ende. Insgesamt also ist c das minimum auf \((a,b)\).

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Alles klar, ich danke dir für alles! :)