Habe ich das richtig gemacht. Übrigens wie mache ich das mit der Differenzierbarkeit?
Text erkannt:
Sei \( f:]-1,1\left[\rightarrow \mathbb{R}\right. \) gegeben durch \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\arcsin (x)}{\tan (x)}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right. \) Untersuche \( f \) auf Stetigkeit \( k \) Differenzierbarkeit in \( ]-1,1[ \).
1) Stetigkeit:
Für \( x \neq 0 \) gilt: Es gilt für \( ]-1_{1},\left[\backslash\{0\}: \tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \neq 0\right. \), denn es ist hier \( \sin (x) \neq 0 \) für \( x \in]-1,1\left[\mid\{0\}\right. \), da die Funktion sin die Menge \( \left\{k \pi \mid k \in \mathbb{N}_{0}\right\} \) als Nullstellen hat, also \( \sin (x)=0 \) in \( ]-1,1[ \) nur für \( x=0 \) getten kann, doch \( x=0 \notin]-1,1[\backslash\{0\} \). Also gilt \( \sin (x) \neq 0 \) fuir \( x \in]-1,1[\backslash\{0\} \).
Damit gilt \( \sin (x) \neq 0 \) für \( \forall x \in]-1_{1} 1[\backslash\{0\} \), wodurch also die Funktion \( \cot : x \mapsto \frac{1}{\tan (x)}=\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \) wegen \( \sin (x) \neq 0 \) in \( ]-1_{1} 1[\backslash\{0\} \) stetig ist.
Da arcsin in \( [-1,1] \) stetig ist, ist es auch in \( ]-1,1[\backslash\{0\} \) stetig.
Damit ist also insgesamt die Zusammensetzung \( f \) auch stetig in \( ]-1,1[\backslash\{0\} \).
Fiir \( x=0 \) gilt: \( f \) ist in 0 stehig \( \Leftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)=1 \) gilt
\( \left(\frac{d}{d x} \arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \)
Also ist \( f \) für 0 stelig \( k \) insgesamt auch in \( ]-1,1[ \) damit.
