Analysis Abitur: fa(x) = (x^2-a)*e^{-x}, a positiv, x reell. Behauptung zu Extremstelle

Question

c) Es wird nun die Funktion \( f_{3} \) der oben genannten Schar betrachtet, d. h., es gilt \( f_{3}(x)=\left(x^{2}-3\right) \cdot e^{-x}, x \in \mathbb{R} . \) Der Graph der Funktion \( f_{3} \) wird am Ende der Aufgabenstellung dargestellt.

(1) Es sei \( u \) eine beliebige reelle Zahl. Begründen Sie mit Hilfe partieller Integration:

\( \int \limits_{0}^{\infty} f_{3}(x) d x=\left(-u^{2}-2 u+1\right) \cdot e^{-v}-1 \).

(2) Berechnen Sie mit Hilfe von c) (1) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \( f_{3} \) und der x-Achse im III. und IV. Quadranten eingeschlossen wird.

Answer 1

Hallo Icecream,

 

Die Arbeit ist schon etwas umfangreicher. Dies ist vielleicht
nur der erste Schritt. Helfe gern weiter.

Die Lösung von Aufgabe b.)(2) p^2 < 4q -4ist sicherlich falsch.
Es muß p^2 < 4q heißen.

Bei c.) muß  die Partielle Integration 2 mal durchgeführt werden.
Habe ich gemacht.

Bei Fragen und wie es weiter gehen soll bitte melden.

 

mfg Georg

Comments

Zunächst danke ich Ihnen, für die ausführliche Antwort.

Ich habe Fragen zu der b2) : 1. zu der 4.Zeile : Man kann also einfach (p/2)^2 hinzufügen ?
2. Zu der 5. Zeile : Wo ist px hingeblieben ?

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Hallo icecream,

  x^2 + p * x + q = 0

  Dies ist eine Funktion 2.Grades die nach der pq-Formel
ausgerechnet werden kann. Falls du die pq-Formel kennst
ist es glaub´ ich einfacher.
Ich arbeite nicht mit der pq-Formel ( habe ich damals nicht
gelernt ) sondern mit der " Quadratischen Ergänzung ".
Die Ergebnisse sind aber gleich. Wie habe ich umgeformt ?

  x^2 + p * x + q = 0  | -q
  x^2 + p * x = -q  | + (p/2)^2 ( auf beiden Seiten natürlich )
  x^2 + p * x + (p/2)^2  = -q  + (p/2)^2
 ( x + p/2  )^2 = -q  + (p/2)^2

Zu deiner Frage wo ist das px geblieben ?
( x + p/2  )^2 =   x^2 + p * x + (p/2)^2
Es steckt jetzt im Ausdruck ( x + p/2 )^2

 ( x + p/2  )^2 = -4q / 4  + p^2 /4
 ( x + p/2  )^2 = ( p^2  - 4q ) / 4 | Wurzelziehen
x + p/2 = ±√ [ ( p^2  - 4q ) / 4 ]

Der Term
[ ( p^2  - 4q ) / 4 ] muß positiv oder 0 sein damit ich die Wurzel ziehen kann
=> p^2 - 4q >= 0
p^2 >= 4q  | ergibt Lösungen
Für p^2 < 4q gibt es keine Lösungen.

Bin gern noch weiterhin behilflich.
Ich kann auch den Ausdruck eines Computerprogramms hier einstellen
oder Fragen beantworten.

mfg Georg

Anmerkung : hier im Forum wird normalerweise " du " gesagt.