Aloha :)
Uns sind zwei Funktionen vorgegeben:$$\red{f\colon\mathbb R\to\mathbb R\;;\;f(x)=-x^3-2}$$$$\green{g\colon\mathbb R\to\mathbb R\;;\;g(x)=(x+1)^2-4}$$
zu a) Die Verkettungen beider Abbildungen lauten:$$(\red f\circ \green g)(x)=\red f(\green g(x))=\red f(\green{(x+1)^2-4})=\red{-(\green{(x+1)^2-4})^3-2}$$$$\phantom{(\red f\circ \green g)(x)}=\red{-(\green{x^2+2x-3})^3-2}=\red{-(\green{(x+3)(x-1)})^3-2}$$$$\phantom{(\red f\circ \green g)(x)}=-(x+3)^3(x-1)^3-2$$$$(\green g\circ\red f)(x)=\green g(\red f(x))=\green g(\red{-x^3-2})=\green{(\red{(-x^3-2)}+1)^2-4}=\green(-x^3-1\green{)^2-4}$$$$\phantom{(\green g\circ\red f)(x)}=(x^3+1)^2-4$$
zu b) Da die Funktionen \(\red f\) und \(\green g\) über ganz \(\mathbb R\) definiert sind und nach ganz \(\mathbb R\) abbilden, sind auch die Verkettungen über ganz \(\mathbb R\) definiert und bilden auch auf ganz \(\mathbb R\) ab.
Prüfen der Injektivität
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
Es ist \((\red f\circ \green g)(-3)=-2\) und \((\red f\circ \green g)(1)=-2\).
Der Funktionswert \((-2)\) wird also mehr als 1-mal getroffen.
Die Verkettung \((\red f\circ \green g)(x)\) ist nicht injektiv.
Es ist \((\green g\circ\red f)(1)=0\) und \((\green g\circ\red f)(-\sqrt[3]{3})=0\).
Der Funktionswert \(0\) wird also mehr als 1-mal getroffen.
Die Verkettung \((\green g\circ \red f)(x)\) ist nicht injektiv.
Prüfen der Surjektivität
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Wir prüfen, ob es \(x\in\mathbb R\) gibt, sodass \((\red f\circ\green g)(x)=123\) gilt:$$-((x+1)^2-4)^3-2=123\stackrel{+2}{\implies}$$$$-((x+1)^2-4)^3=125=5^3\stackrel{\sqrt[3]{\cdots}}{\implies}$$$$-((x+1)^2-4)=5\implies$$$$-(x+1)^2+4=5\stackrel{-4}{\implies}$$$$-(x+1)^2=1$$Die linke Seite der Gleichung ist für alle \(x\in\mathbb R\) kleiner oder gleich Null. Daher gibt es keine Lösung, sodass die Verkettung \((\red f\circ\green g)(x)\) den Funktionswert \(123\) niemals annimmt.
Die Verkettung \((\red f\circ\green g)(x)\) ist nicht surjektiv.
Da \((x^3+1)^2\ge0\) ist, gilt \((\green g\circ \red f)(x)\ge-4\).
Der Wert \((-5)\) aus der Zielmenge wird also z.B. nicht getroffen.
Die Vekrettung \((\green g\circ \red f)(x)\) ist daher nicht surjektiv.
Prüfen der Bijektivität
Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird.
Das ist genau dann der Fall, wenn eine Funktion injektiv und surjektiv zugleich ist.
Daher sind beide Verkettung nicht bijektiv.
