Lineare Differenzialgleichung 1 Ordnung

Question

Aufgabe:

L’ösen Sie das folgende Anfangswertproblem:

y‘ (x)−x·y(x) = e^(x^2/2) mit y(0) = 1.

(1) Gehen Sie hierbei folgendermaßen vor:
(i) (3 Punkte) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung y′(x)−x·y(x) = 0
mithilfe der Trennung der Veränderlichen.
(ii) (3 Punkte) Bestimmen Sie dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
y′(x)−x·y(x) = e^(x2/2)
mithilfe der Variation der Konstanten.
(iii) (1 Punkt) Geben Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
y′(x)−x·y(x) = e^(x2/2) an.

(iv) (2Punkte)Bestimmen Sie nun mithilfe von Teil(iii) und der Anfangsbedingung y(0)=1 die gesuchte Lösung des gegebenen Anfangswertproblems (1).

Problem/Ansatz:

Lineare differentialgleichung 1 Ordnung

Answer 1

Hallo,

i.) y' -A(x) y= 0->Trennung der Variablen

y‘ (x)−x·y(x) =0

y‘ (x) =x·y(x)

y‘ (x) = dy/dx

dy/dx = x y

dy/y= x dx

usw.
yh= C₁ \( e^{\frac{x^2}{2}} \)

ii.). Setze C₁= C(x)
yp= C(x) \( e^{\frac{x^2}{2}} \)
yp'= C '(x) \( e^{\frac{x^2}{2}} \) + C(x) x \( e^{\frac{x^2}{2}} \)

3.Setze yp und yp' in die DGL ein

dabei muß C(x) herausfallen, wenn Du richtig gerechnet hast,

C(x)= x
yp= C(x) \( e^{\frac{x^2}{2}} \) = x *\( e^{\frac{x^2}{2}} \)

iii.) y= yh+yp

 \( y(x)=c_{1} e^{x^{2} / 2}+e^{x^{2} / 2} x \)

iv.) Anfangsbedingung in die Lösung einsetzen