Aufgabe:
Man soll denjenigen Folgenindex bestimmen, damit | an − a | < ε. Der vermutete Grenzwert liegt bei 1 und zudem sei ε \( \frac{1}{10} \).
Die Folge lautet:
$$a_n=\frac{2n^2-4n-12}{2n^2-4}$$
Problem/Ansatz:
Ich hatte bei diesen Aufgaben immer Mal wieder Probleme und wollte deswegen einmal fragen, ob der Lösungsweg richtig ist:
$$|\frac{2n^2-4n-12}{2n^2-4}-1| <\frac{1}{10}$$
$$|\frac{2n^2-4n-12}{2n^2-4}-\frac{2n^2-4}{2n^2-4}| <\frac{1}{10}$$
$$\frac{-4n-8}{2n^2-4} <\frac{1}{10}$$
$$-4n-8 <\frac{1}{10}(2n^2-4)$$
$$-40n-80 <2n^2-4$$
$$-20n-40 <n^2-2$$
$$0<n^2+20n+38$$
$$n^2-20n+38>0$$
Aufgelöst und als Lösung erhalte ich:
n1 = 10+\( \sqrt{\frac{400}{4}-38} \) und n2 = 10-\( \sqrt{\frac{400}{4}-38} \)
Wobei nur n1 relevant und gesucht ist.
Ist das richtig?
