Aufgabe bezüglich Folgeindex richtig gelöst?

Question

Aufgabe:

Man soll denjenigen Folgenindex bestimmen, damit | an − a | < ε. Der vermutete Grenzwert liegt bei 1 und zudem sei ε $\frac{1}{10}$.

Die Folge lautet:

$$a_n=\frac{2n^2-4n-12}{2n^2-4}$$

Problem/Ansatz:

Ich hatte bei diesen Aufgaben immer Mal wieder Probleme und wollte deswegen einmal fragen, ob der Lösungsweg richtig ist:

$$|\frac{2n^2-4n-12}{2n^2-4}-1| <\frac{1}{10}$$

$$|\frac{2n^2-4n-12}{2n^2-4}-\frac{2n^2-4}{2n^2-4}| <\frac{1}{10}$$

$$\frac{-4n-8}{2n^2-4} <\frac{1}{10}$$

$$-4n-8 <\frac{1}{10}(2n^2-4)$$

$$-40n-80 <2n^2-4$$

$$-20n-40 <n^2-2$$

$$0<n^2+20n+38$$

$$n^2-20n+38>0$$

Aufgelöst und als Lösung erhalte ich:

n₁ = 10+$\sqrt{\frac{400}{4}-38}$ und n₂ = 10-$\sqrt{\frac{400}{4}-38}$

Wobei nur n₁ relevant und gesucht ist.

Ist das richtig?

Comments

DDu hast die Beträge falsch aufgelöst

|-4*n-8|=4*n+8

Answer 1

Mit der Korrektur gibt es

n1 = 10+$\sqrt{\frac{400}{4}+42}$ ≈21,9.

Also (weil Folgenindices nat. Zahlen sind)

ist das Ergebnis: Für alle Indices n≥22 gilt es .

Und wenn du denjenigen bestimmen sollst, von

dem ab es für alle gilt, ist das N=22.

Comments

Okay, vielen Dank für deine Hilfe. Aber warum kann ich hier die Betragsstriche nicht einfach weglassen? Übersehe ich was?

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Wäre denn |-5|=-5?

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Ne natürlich nicht :D

Aber woran sehe ich denn auf Anhieb, dass der gesamte Term negativ ist?

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Naja. -4*n ist für natürliches n negativ, ebenso -8. Die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ....

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Okay, aber hätte ich im Nenner nicht das gleiche Problem? Wenn ich dort 2(1)²-4 setze, hätte ich doch auch eine negative Zahl raus.

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Aber es geht ja darum wie es für große n aussieht.

Also n>2 kannst du sicherlich annehmen.

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Ahh okay, daran hat es gehapert. Vielen Dank!