Question

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge. Die Aussage gitl es zu beweisen, jeodch darf man die folgenden Aussagen nicht verwenden: 1.Cauchy Folgen konvergieren; 2. jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzen eine konvergente Teilfolge.

Also sei (x_n) n ∈ℕ beschränkt und eine reelle Folge und ich verwende zudem die Aussage, dass jede Folge reeller Zahlen eine monotone Teilfolge besitzt. Also da (x_n) beschränkt ist eine Teilfolge(x_n_k) k∈ℕ von (x_n) auch beschränkt. Da x_n_k auch monoton ist gilt ja sup(x_n_k) = lim x_n_k ∨ inf(x_n_k)= lim x_n_k. Damit wäre es ja bewiesen oder?

Answer 1

Der Satz, dass jede Folge reeller Zahlen eine monotone Teilfolge besitzt, ist natürlich sehr hilfreich. Mach's aber nicht so kompliziert mit sup und inf.

Deine beschränkte Folge hat also eine monotone TF, die damit auch beschränkt ist. Folgen, die monoton und beschränkt sind, sind konvergent, fertig.