Differenziere implizit und ermittle, in welchen Punkten die Kurve eine waagrechte Tangente hat?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1) Differenziere implizit und ermittle, in welchen Punkten die Kurve waagrechte bzw. senkrechte Tangenten hat.
a) \( (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=36 \)

Problem/Ansatz:

Hey Leute, wie komme ich bei dieser Aufgabe weiter? Ich habe y' schon berechnet.

Text erkannt:

\( y^{\prime}=\frac{2 x-6}{2 y-10} \)

Wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Aber ich komme bei der Frage, in welchen Punkten die Kurve .... nicht weiter.

Bitte um Hilfe

Comments

Dieser Weg führt doch auch zu den gesuchten Tangenten: (Wie es auch bei der bemängelten Antwort bei der Ellipse möglich wäre.)

\( (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=36 \)

\( f(x,y)=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}-36 \)

\( f_x(x,y)=2(x-3) \)

\( f_y(x,y)=2(y-5) \)

\(2(x-3)=0 \)

\(x=3 \)

\(2(y-5)=0 \)

\(y=5 \)

waagerechte Tangenten bei  \(x=3 \):  \( (3-3)^{2}+(y-5)^{2}=36 \)

→  \(y_1=11 \) oder \(y_2=-1 \)

senkrechte Tangenten bei \(y=5 \):  \( (x-3)^{2}+(5-5)^{2}=36 \)

→  \(x_1=9 \) oder \(x_2=-3 \) 

Answer 1

Die Kurve beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt \( M(3|5) \) und Radius 6. Waagerechte Tangenten, wenn \( y'=0 \), senkrechte Tangenten, wenn \( x'=0 \). Die jeweils andere Koordinate erhält man durch Einsetzen in die Gleichung.

Answer 2

Du hast einen Vorzeichenfehler und hast noch einen unnötigen Faktor 2 in deinem Ausdruck für \(y'\).

Die Ausgangsgleichung ist

\(\boxed{(x-3)^2+(y-5)^2=36\quad (1)}\)

Implizite Differentiation ergibt

\(2(x-3) + 2(y-5)y' = 0 \Leftrightarrow (x-3) + (y-5)y' = 0\)

\(\stackrel{y-5 \neq 0}{\Leftrightarrow} \boxed{y' = -\frac{x-3}{y-5} \quad (2)}\)

Waagerechte Tangente:

\(\bm{y'=0} \Leftrightarrow x=3\) und \(y(3)\neq 5\)

Einsetzen von \(x=3\) in (1) ergibt

\(y=-1\) und \(y=11\).

\(\Rightarrow\) waagerechte Tangente in \((3|-1)\) und \((3|11)\).

Senkrechte Tangente:

\(\bm{|y'|=\infty} \Leftrightarrow y=5\) und \(x(5)\neq 3\)

Einsetzen von \(y=5\) in (1) ergibt

\(x=-3\) und \(x=9\).

\(\Rightarrow\) senkrechte Tangente in \((-3|5)\) und \((9|5)\).

Das Ergebnis ist nicht überraschend, denn Gleichung (1) ist eine Kreisgleichung: