Bestimmen Sie den Radius und die Höhe

Question

Aufgabe

In einer Dosenfabrik sollen zylindrische Dosen mit einem Volumen von 850 ml produziert werden. Der Hersteller möchte dabei möglichst Material sparen. Von allen Dosen mit einem Volumen von 850 ml wird diejenige mit dem geringsten Materialverbrauch gesucht. Bestimmen Sie den Radius und die Höhe einer solchen
Dose, der Verschnitt wird vernachlässigt.
Problem/Ansatz:

Ich komme da einfach nicht drauf, ich hoffe einer hier könnte mir helfen

Comments

Hinweis: die Oberfläche eines Zylinders ist bei festem Volumen genau dann minimal, wenn seine Höhe gleich seinem Durchmesser ist.

... oder alternativ ausgedrückt: wenn die Dose den Innenzylinder mit maximalen Volumen eines Würfels darstellt.

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Das erinnert an das Quadrat als Rechteck mit größtem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang.

Gibt es da einen Zusammenhang?

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Gibt es da einen Zusammenhang?

Ja ;-)

Answer 1

Suche dir die Formel für das Volumen eines Zylinders heraus und setze dieses gleich 850 cm³ (1 cm³ - 1 ml). Das ist die Nebenbedingung. Löse die Nebenbedingung nach \(r\) oder \(h\) auf. Letzteres dürfte einfacher sein.

Suche dir die Formel für die Oberfläche eines Zylinders heraus und ersetze die nach \(r\) oder \(h\) aufgelöste Nebenbedingung ein und vereinfache soweit wie möglich. Das ist deine Zielfunktion.

Minimiere die Zielfunktion mit den dir bekannten Rechenverfahren.

Wenn du nicht weiterkommst, sag, wo du festhängst.

Answer 2

V= r^2*pi*h = 850 cm^3

h= 850/(r^2*pi)

Oberfläche O = 2*r^2*pi+ 2r*pi*h

O(h) = 2r^2*pi+ 2*r*pi* 850/(r^2*pi) =  2r^2*pi + 1700/r

O'(r) =0

4r*pi-1700/r^2 = 0

4r^3*pi -1700 =0

r^3 = 1700/(4*pi)

r= (1700/(4*pi))^(1/3)

r= 5,13cm

h= 10,27 cm

Comments

r= 11,63 cm

h= 2 cm

Dir müsste doch schon an diesen abartigen Größenverhältnissen zwischen deinen Werten r und h klar werden, dass so eine flachgequetschte und dafür extrem breite Dose nie und nimmer die minimale Oberfläche hat.

Finde deinen Fehler in der ersten Ableitung.

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Danke. ich habe das vergessene/untergegangene Quadrat bei r ergänzt.

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Du bist doch sonst immer Fan von Alpha-Links. Dort wird Dein korrigiertes Ergebnis bestätigt.

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Oblivisci consuetudo fieri coepit. Doleo.

Causas repetere nolo, quae sint notae et iniucundae.