f(x) = x2 über [0 ; 2],x=a im Verhältnis 1:7.Wie soll a gewählt werden?

Question

Aufgabe:

Die Fläche unter f(x) = x^2 über [0 ; 2] soll
durch die senkrechte Gerade x = a im Verhältnis 1:7 geteilt werden.
Wie muss a gewählt werden?

Problem/Ansatz:

Kann jemand noch die Aufgabe lösen,bitte

Answer 1

Versuche es mal mit \(a = 1 \).

Und dann versuche es mit \(a= \sqrt[3]{7} \)

Comments

Die beiden Lösungen:

Der rote Flächeninhalt ist ein Siebtel des blauen.

Answer 2

Berechne zunächst die Gesamtfläche. Damit die Fläche im Verhältnis 1:7 geteilt wird, bestehen die Teilflächen aus \(\frac{1}{8}\) bzw. \(\frac{7}{8}\) der Gesamtfläche. Du kannst nun \(a\) so wählen, dass die erste Teilfläche entweder \(\frac{1}{8}\) oder \(\frac{7}{8}\) der Gesamtfläche beträgt. Um die erste Teilfläche zu berechnen, integrierst du von 0 bis \(a\) und setzt das Integral gleich den oben genannten Anteilen. Die enstehenden Gleichungen löst du nach \(a\) auf.

Answer 3

Die Fläche unter f(x) = x^2 über [0 ; 2] soll
durch die senkrechte Gerade x = a im Verhältnis 1:7 geteilt werden.
Wie muss a gewählt werden?

f ( x ) = x^2
int(f,x=0..2)
F =  8/3

int(f,x=0..a) = (8/3) / 7 = 0.28751
Bei Bedarf nachfragen

Comments

int(f,x=0..a) = (8/3) / 7 = 0.28751

Falsch. Das wäre das Verhältnis 1:6.

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Korrektur
1 Teil + 7 Teile sind insgesamt 8 Teile
f ( x ) = x^2
F( x ) = x^3 / 3
F zwischen 0 bis 2 = 8/3
erste Fläche = (8/3) / 8 = 1 /3
F zwischen 0 und a = 1/3
a = 1
F von 0 bis 1 = 1/3
F von 1 bis 2 = 7/3

Ich hoffe alles stimmt.

Spruch des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

Answer 4

Es sind 8 Teile:

F(x) = x^3/3+C

1/8[x^3/3]von 0 bis a = [x^3/3]von a bis2

1/8* 8/3 -0 = 8/3 - a^3/3

a^3/3 = 7/3

a^3 = 7

a= 7^(1/3) = 1,913 (gerundet)

Comments

1/8[x³/3]von 0 bis a = [x³/3]von a bis 2

Tippfehler: \(\displaystyle \frac{1}{8}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\color{red}2}=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{a}^{2}\)

liefert das \(a\) für das Verhältnis \(7 \div 1\)

dann passt es auch zu den folgenden Zeilen ;-)

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Ich verstehe nicht ganz.

Wieso nicht von 0 bis a?

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Wieso nicht von 0 bis a?

Die Fläche \([x^3/3]_a^2\) soll doch ein Achtel der Gesamtfläche sein und nicht ein Achtel der Fläche von 0 bis a.

Und wenn von 0 bis a, dann müsste die nächste Zeile doch heißen:$$\frac{1}{8}\cdot \frac{{\color{red}a}^3}{3} - 0 = \frac{8}{3} - \frac{a^3}{3}$$das steht da aber nicht. Oder wie schaffst Du es, das \(a\) auf der linken Seite der Gleichung zu beseitigen?

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Ich habe erst die Stammfunktion hingeschrieben und dann eingesetzt.

Das Ergebnis passt doch, oder?

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Ich habe erst die Stammfunktion hingeschrieben und dann eingesetzt.

die Stammfunktion war ja auch kein Thema. Die Grenzen passen nicht beim Ansatz.

Das Ergebnis passt doch, oder?

das Ergebnis ist korrekt für das Verhältnis \(7 \div 1\) (s. Antwort von döschwo; der rechte Graph). Du kommst aber nur auf dieses Ergebnis, wenn der Ansatz$$\frac{1}{8}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{a}^{2}$$ lautet