Extremwertaufgabe Fläche Inhalt

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Extremwertaufgabe Fläche Inhalt

Die Hauptbedingung (oder Zielfunktion) ist die Funktion, die maximiert oder minimiert werden soll. Also ist das hier der Flächeninhalt des Rechtecks. Ist die horizontale Ausdehnung des Rechtecks $b$ für die Breite und $h$ für die Höhe, so ist die Hauptbedingung schlicht$$A = bh \to \max$$wenn $A$ die Fläche ist. Und $A$ soll maximiert werden

Die Nebenbedingung schränkt im Allgemeinen die Hauptbedingung ein. In diesem Fall soll das Rechteck in den beschriebenen Bereich von $x=0$ (der Y-Achse), $x= 5\sqrt{3}/3$ alias $x\approx2,89$ und den Funktionen $f$ und $g$ hinein passen.

Um dass heraus zu bekommen solltest Du Dir eine Skizze machen (s. Antwort von Moliets) und dann die Zusammenhänge heraus arbeiten. Hier ist das Rechteck bündig zur Y-Achse und zur Funktion $g$ und die rechte obere Ecke liegt auf $f$.

Daraus folgt dann die Nebenbedingung$$h = f(b) - g(b)$$

Kommentiert 15 Apr von Werner-Salomon

📘 Siehe "Extremwertaufgabe" im Wiki

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döschwo · Answer 1 · 2024-04-15T10:45:10+0000

Was nicht meine Frage beantwortet, wie Du auf 2,9 gekommen bist.

Man findet lokale Extremstellen einer Funktion, indem man deren erste Ableitung gleich null setzt und die Gleichung löst. In Deinem Fall kann das Maximum aber auch an einem Rand des Definitionsbereichs (der in der Aufgabe steht) sein, deshalb schrieb ich, das auch noch zu beachten. Setze also x = 0 und dann x = 2,88675 in die Funktion ein und schaue, ob ein Randmaximum größer als das vorher mit der Ableitung gefundene lokale Maximum ist.

Da Du nun mitgeteilt hast, dass wegen gesundheitlich bedingter Absenzen "ehrlich gesagt ich habe keine Ahnung", solltest Du nicht nach der Lösung fragen, sondern danach, wie man das löst. Denn die Lösung nützt Dir rein gar nichts im Hinblick auf die erwähnte bevorstehende Prüfung.

Kommentiert 15 Apr von döschwo

Moliets · Answer 2 · 2024-04-15T10:56:41+0000

Zielfunktion:

$A=u\cdot [f(u)-1]$ soll maximal werden.

Nebenbedingung:

$f(u)= \frac{1}{25}u^4-\frac{2}{3}u^2 +\frac{52}{9}$

$A=u\cdot [\frac{1}{25}u^4-\frac{2}{3}u^2 +\frac{43}{9}]=\frac{1}{25}u^5-\frac{2}{3}u^3 +\frac{43}{9}u$

$A'=\frac{1}{5}u^4-2u^2 +\frac{43}{9}$

$\frac{1}{5}u^4-2u^2 +\frac{43}{9}=0$

$u^4-10u^2 =-\frac{215}{9}$

$u^4-10u^2+5^2 =-\frac{215}{9}+5^2$

$(u^2-5)^2 =\frac{10}{9} |±\sqrt{~~}$

1.)

$u^2-5 =\frac{1}{3} \sqrt{10}$

$u^2 =5+\frac{1}{3} \sqrt{10}|±\sqrt{~~}$

A)

$u_1 =\sqrt{5+\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈2,46$

B)

$u_2 =-\sqrt{5+\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈-2,46$ Kommt nicht in Betracht.

2.)

$u^2-5 =-\frac{1}{3} \sqrt{10}$

$u^2 =5-\frac{1}{3} \sqrt{10}|±\sqrt{~~}$

C)

$u_3 =\sqrt{5-\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈1,98$

D)

$u_4 =-\sqrt{5-\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈-1,98$ Kommt nicht in Betracht.

Flächenberechnungen führen zu dem maximalen u.

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