" Ableitung rückwärts " nennt der Fachmann integrieren, manchmal auch aufleiten.
Gegeben war f´´(x): 6x-12 und dass der Graph von f(x) im Punkt (3/0) eine waagerechte Tangente hat.
f´´( x ) = 6 * x -12
f ´ ( x ) = 6 * x^2 / 2 - 12 * x + c
f ´ ( x ) = 3 * x^2 - 12 * x + c
f ( x ) = 3 * x^3 / 3 - 12 * x^2 / 2 + c * x + d
f ( x ) = x^3 - 6 * x^2 + c * x + d
f´( 3 ) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + c = 0
c = 36 - 27
c = 9
f ´ ( x ) = 3 * x^2 - 12 * x + 9
f ´ ( x ) = 3 * x^2 - 12 * x + 9
alle Extrema
3 * x^2 - 12 * x + 9 = 0
| Funktion 2.Grades, pq-Formel oder quadratische Ergämzung
x = 3 | schon bekannt
x = 1
f ( 3 ) = 3^3 - 6 * 3^2 + 9 * 3 + d = 0
27 - 54 + 27 + d = 0
d = 0
f ( x ) = x^3 - 6 * x^2 + 9 * x
Funktionswert von x = 1
f ( 1 ) = 1^3 - 6 * 1^2 + 9 * 1
f ( 1 ) = 4
E ( 1 | 4 )
Wie bekannt ist die 1.Ableitung einer Funktion die Funktion der
Steigung einer Funktion ( Steigungsfunktion ). Diese ist eindeutig.
Will ich umgekehrt aufleiten / integrieren gibt es unendlich viele
Funktionen die diese Steigungsfunktion haben. Stelle dir eine
Funktion vor und verschiebe diese mehrmals in Richtung y-Achse,
das heißt nach oben oder unten. Die Steigungsfunktion bleibt
immer dieselbe. Wenn ich f ( x ) = x integriere ergibt sich
x^2 / 2 + c. c ist der y-Achsenabschnitt und ist beliebig.
Schau dir die Angelegenheit im Mathebuch noch einmal an.
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mfg Georg
