Könnte da jemand drüber schauen ? Lösen von Exponentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Lösungsmenge von Gleichungen berechnen …

Problem/Ansatz:

Hey, ich hab jetzt die ersten gemacht, aber bei d und e hab ich noch Schwierigkeiten. Könnte da jemand drüber schauen ?

Text erkannt:

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:
(a) \( 2^{3 x}=2^{x+8} \)
(c) \( 4^{x+1}=8^{x-1} \)
(e) \( 8^{4 x}-12 \cdot 8^{2 x}+32=0 \)
(b) \( 2^{12 x}=8^{x+15} \)
(d) \( 2^{6 x}-4 \cdot 2^{3 x}+4=0 \)
a) \( 2^{3 x}=2^{x+8} \Leftrightarrow 3 x=x+8 \)
\( \begin{array}{rlrl} 3 x & =x+8 & & 1-x \\ 2 x & =8 & 1: 2 \\ x & =4 & \end{array} \)
b)
\( \begin{aligned} 2^{12 x} & =8^{x+15} \\ 2^{12 x} & =2^{3 x+45} \Leftrightarrow 12 x=3 x+45 \\ 12 x & =3 x+45 \quad 1-3 x \\ 9 x & =45 \quad \text { is } \\ x & =5 \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} x=5 \\ \end{array} \)

Text erkannt:

d)
\( \begin{array}{l} 2^{6 x}-4 \cdot 2^{3 x}+4=0 \quad 1+4 \\ 2^{6 x} \cdot 2^{3 x}+8=0 \quad 1-8 \\ 2^{6 x} \cdot 2^{3 x}=-8 \end{array} \)
e)
\( \begin{array}{l} 8^{4 x}-12 \cdot 8^{2 x}+32=0 \mid+12 \\ 8^{4 x} \cdot 8^{2 x}+32=12 \mid-32 \\ 8^{4 x} \cdot 8^{2 x}=-20 \end{array} \)

Answer 1

Mache eine Substitution \( z=2^{3x} \) und \( z^2=2^{6x} \) und löse dann die quadratische Gleichung in \( z \) und mache die Substitution rückgängig. Aufgabe e) geht genauso.

Deine Aufgaben kannst Du selbstständig mit Hilfe einer Probe prüfen. Sieht aber gut aus.

Comments

woran erkenne ich, dass ich eine Substitution machen muss? gibts da eine Faustregel?

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Wenn du einen Term und zugehörigen quadratischen Term vorfindest. \( 2^{6x}=(2^{3x}) ^2 \)

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Ahhh vielen Dank! ich beende die Aufgabe morgen dann mit Ihrer Hilfe. Vielen Dank.

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z^2-12z+32 =0

Satz von Vieta:

(z-8)(z-4) = 0

...

Oder pq-Formel:

z1/2= 6+-√(36-32)

...

(Lösung: x=1 v x= 2/3)

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Korrektur zu meinem Weg:

Lösung. x= 1/2 v x= 1/3

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Jaa, so wollte ich ebenso vorgehen. Vielen Dank Ihnen!

Answer 2

Weg ohne Substitution:

d)

\( 2^{6 x}-4 \cdot 2^{3 x}+4=0 \)

\(    2^{6 x}-4 \cdot 2^{3 x}+(\frac{4}{2})^2=-4+(\frac{4}{2})^2     \)

\(    (2^{3 x}-2)^2=0 |±\sqrt{~~}  \)

\(    2^{3 x}-2=0 \)

\(    2^{3 x}=2 \)

\(    8^{x} =2\)

\(   x=\frac{1}{3}\)

e)

\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}+32=0\)

\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}=-32\)

\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}+(\frac{12}{2})^2=-32+(\frac{12}{2})^2\)

\(( 8^{2x} -\frac{12}{2})^2=-32+(\frac{12}{2})^2\)

\(( 8^{2x} -6)^2=4 |±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(8^{2x} -6=2 \)

\(8^{2x}=8 \)

\(64^{x}=8 \)

\(x=\frac{1}{2} \)

\(2.)\)

\(8^{2x} -6=-2 \)

\(64^{x} =4 \)

\(x =\frac{1}{3} \)

Comments

@Moliets:

Tu tibi maxime constas. Te iam desiderare coepi et tuam suppletionem quadraticam. :)

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Vielen Dank! Ich wollte fragen, warum hier zb:

\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}+32=0\)\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}=-32\)

wenn wir -32 rechnen sich an der -12 vorne nichts ändert

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\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}+32=0|-32\)

\( 8^{4x} -12\cdot8^{2x}=-32\)

An der \(-12\)  ändert sich deshalb nichts, weil sie ein Faktor von \( 8^{2x}\) ist.

Anderes Beispiel:

\( x^2-6x-5=0|+5\)

\( x^2-6x=5\)

Hier darfst du ja auch nicht \(-6+5\) rechnen.

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Ahhh dankeschön!

Answer 3

Warum rechnest du hier \(\vert+4\)? Vielleicht versuchst du es mal so: $$\begin{aligned}\left(2^{3x}\right)^2-4\cdot 2^{3x}+4&=0\\\left(2^{3x}-2\right)^2&=0\\&\dots\end{aligned}$$

Comments

ich hatte versucht dass die beiden Zahlen alleine stehen und ich sie dann miteinander verrechnen kann, wie in den zuvorigen aufgaben, aber es wirkte falsch, deshalb wollte ich um Hilfe bitten. können sie erklären was genau sie gemacht haben, ich seh nicht ganz wie sie so schnell auf die Vereinfachung gekommen sind.

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Guten Abend! Zunächst habe ich den ersten Summanden auf der linken Seite mit den Potenzregeln so umgeformt: \(2^{6x}=\left(2^{3x}\right)^2\). Danach steht auf der linken Seite der Gleichung ein gemischt quadratischer Rechenausdruck über dem Term \(\left(2^{3x}\right)\). Dieser Ausdruck lässt sich netterweise mithilfe der zweiten binomischen Formel in einen rein quadratischen Ausdruck verwandeln, was ich dann auch gemacht habe. Da dieser Ausdruck Null sein soll, sind die weiteren Schritte bis zur Lösung dann eher einfach.