Berechnen Sie den Rang der unendlichen Matrix

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2.5. Seien \( n \in \mathbb{N}, \mathbb{K} \) ein Körper. Berechnen Sie den Rang der folgenden Matrix
\( A=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{n \times n}, \)
für
(a) \( \mathbb{K}=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \).
(b) \( \mathbb{K}=\mathbb{Q} \).
(2+3 Punkte)

Problem/Ansatz:

Also grundsätzlich weiß ich wie ich den Rang berechne bspw. mit Hilfe von Gauß. Denn der Rang beschreibt die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren bzw. die Anzahl der nicht Nullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform. Für endliche Matrizen ist das auch einfach zu berechnen. Aber ich kann mir die Matrix durch die Punkte nicht so gut vorstellen. Kann mir das jemand erklären und worin besteht der Unterschied zwischen a und b direkt, weil eigentlich macht man doch bei beiden das gleiche?

Comments

Die Matrix ist nicht unendlich, sondern hat n Zeilen und n Spalten und n ist eine (endliche) natürliche Zahl.

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Ja gut, das stimmt, da habe ich mich falsch ausgedrückt, aber wie gehe ich hier am besten vor, da ich mir die Matrix, trotzdem nicht gut vorstellen kann

Answer 1

Entwickle die Det. mal nach der 1. Spalte, dann gibt das

1 * det(X) + (-1)^(n-1)*det(Y)

Dabei ist X eine Matrix mir 1en in der Hauptdiagonale und 0en

unterhalb der Hauptdiagonale, also det(X)=1.

Und Y hat entsprechend oberhalb der Hauptdiagonale nur 0en,

also auch det(Y)=1.

==>   det(A) = 0 für gerades n und 2 für ungerades n.

Weil im Körper \( \mathbb{K}=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \) 2=0 gilt, ist

dort also immer det(A)=0,

Comments

Vielen Dank für diese Antwort, das ist auch soweit nachvollziehbar. Jedoch haben wir Determinanten (auch wenn ich sie schon in anderen Vorlesungen behandelt habe) in der Vorlesung noch nicht eingeführt, weshalb ich mir nicht sicher bin, ob ich das so anwenden darf. Gibt es auch noch eine Alternative mit elementarer Zeilen- und Spaltenumformung oder mit Gauß.

Answer 2

Die ersten n-1 Zeilen sind linear unabhänig.

Für \( \mathbb{K}=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \) ist die Summe der ersten n-1 Zeilen gleich der letzten.

Kann im Fall \( \mathbb{Q} \) die letzte Zeile aus den anderen linear kombiniert werden?