Bestimmen Sie jeweils das Maximum, Minimum, Supremum und Infimum der folgenden Mengen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils das Maximum, Minimum, Supremum und Infimum der folgenden Mengen, für die Fälle, dass es existiert:

a) \( A:=\left\{x \in \mathbb{R}|| x^{2}-1 \mid \leq 3\right\} \),

b) \( B:=\left\{\left.(-1)^{n}+\frac{2}{n+1} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}_{0}\right\} \).

(Tipp: Für b) dürfen Sie das archimedische Axiom verwenden: Für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( 0<x<y \) exisitiert ein \( n \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( x n>y \).)

Problem/Ansatz:

Comments

Nicht einmal ein Ansatz?

Answer 1

a) Fallunterscheidung:

1.x^2 >=1

|x|>=1 

x>=1 v x<=-1

x^2-1 <=3

x^2 <=4

|x| <= 2

L1= [-2;2]

2. x^2<1 -> (-1;1)

-x^2+1<=3

x^2 >= -2 (immer erfüllt)

L2= (-1;1)

L2 ⊂ L1

Answer 2

\( A:=\left\{x \in \mathbb{R}|| x^{2}-1 \mid \leq 3\right\} \)

\( \sqrt{(x^{2}-1)^2}≤3  |^{2} \)

\( (x^{2}-1)^2≤9       |±\sqrt{~~} \)

\(A)\)

\( x^{2}-1≤3     \)

\( x^{2}≤4      |±\sqrt{~~} \)

\(x_1≤2\)

\(x_2≥-2\)

\(B)\)

\( x^{2}-1≤-3       \)

\( x^{2}≤-2      \) Hat keine Lösungen ∈ ℝ

L: \(-2≤x≤2\)