Das plotten wütde ich hinbekommen, allerdings bin ich mir noch unsicher wie ich aus dieser Gleichung eine fläche berechnen soll.
Wieso plottest du denn die Figur nicht?
Dann würdest du sehen, dass es sich um eine Ellipse handelt.
Und wie berechnet man die Fläche einer Ellipse?
Mit den Halbachsen \(a,b\) ergibt sich die Fläche der Ellipse zu
\(\pi\cdot a\cdot b\).
Jetzt musst du also nur noch die Halbachsen finden.
Spätestens jetzt könnte es klingeln und dir Hauptachsentransformation einfallen.
Deine Quadrik sieht so aus:
\(x^TAx + b^Tx = 15\) mit
\(A = \begin{pmatrix} 11 & 2 \\ 2 & 14 \end{pmatrix}\) und \(b^T= \begin{pmatrix} -8\sqrt 5 & 4\sqrt 5 \end{pmatrix} = 4\sqrt 5\begin{pmatrix} -2 & 1\end{pmatrix} \)
Jetzt brauchst du nur etwas quadratische Ergänzung und die Eigenwerte von \(A\).
Quadratische Ergänzung:
Mit \(s=-\frac 12 A^{-1}b\) erhältst du
\(x^TAx + b^Tx = (x-s)^TA(x-s)-10 = 15\) (gern selber nachrechnen)
Eigenwerte (Hauptachsentransformation - HAT):
Die Eigenwerte von \(A\) sind \(\lambda_1=15,\;\lambda_2=10\). Per HAT gibt es eine orthogonale Matrix \(U\), die \(A\) diagonalisiert.
Mit \(x-s = Uu\) erhältst du
\(25 = (x-s)^TA(x-s) = 15u_1^2 + 10u_2^2 \quad (\star)\)
Beachte, dass orthogonale Transformationen Flächeninhalte nicht verzerren.
Nun überführst du die Gleichung \((\star)\) in die Halbachsenform
\(\frac{u_1^2}{a^2} + \frac{u_2^2}{b^2}=1\)
So findest du
\(a=\sqrt{\frac 53}\) und \(b=\sqrt{\frac 52}\)
\(\Rightarrow\) Fläche der Ellipse: \(\frac{5}{\sqrt 6} \pi \approx 6.413\)
Überprüfung hier.
