Bestimmen Sie \cosh^2(x) - \sinh^2(x) für beliebiges x ∈ ℝ .

Question

Nutzen Sie für diese Aufgabe die folgenden Definitionen von Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus:
\( \sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh(x) := \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \)

(a) Bestimmen Sie \( \cosh^2(x) - \sinh^2(x) \) für beliebiges \( x \in R \). Berechnen Sie außerdem die erste Ableitung für beide der oben definierten Funktionen.

Text erkannt:

3/a
\( \begin{aligned} \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)= & (\cosh +\sinh )(\cosh -\sinh ) \\ = & \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=e^{x} \\ & \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=e^{-x} \\ & e^{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}=1 \end{aligned} \)

Phleiture var \( \cosh (x) \) :

Ich habe versucht, es aus der Differenz der beiden Quadrate heraus zu machen. Ist das der richtige Weg?

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Text erkannt:

(1) \( \begin{aligned} & \frac{d}{d x}\left[\sin \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\right] \\ = & \cos \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) \cdot \frac{d}{d x}\left[\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right] \\ = & \cos \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{d}{d x}\left[e^{x}\right]+\frac{d}{d x}\left[e^{-x}\right]\right) \\ = & \cos \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\left(e^{x}+e^{-x} \frac{d}{d x}[-x]\right) \\ = & \cos \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\left(e^{x}+e^{-x}\left(-\frac{d}{d x}[x]\right)\right) \\ = & \frac{\cos \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\left(e^{x}-e^{-x} \cdot 1\right)}{2} \\ = & \frac{\left(e^{x}-e^{-x}\right) \cos \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)}{2}\end{aligned} \)

Answer 1

Die dritte bin. Formel zu benutzen ist sehr geschickt, dadurch wird es einfach. Alles richtig.

Schreib es nur geordnet auf, in einer Kette, also von \(\cosh^2x-\sinh^2x =... =1\).

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Nachtrag: Du hast die Ableitung einer anderen Funktion berechnet. Gefragt waren die der beiden Funktionen, also die von \(\cosh\) und die von \(\sinh\). Ist auch viel einfacher als Deine Rechnung.

Answer 2

Hallo

Ja, da hast du den besten Weg gefunden.

lul

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Vielen Dank!