Zeigen Sie folgende Aussagen
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Seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) zwei Folgen reeller Zahlen und \( a, b \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Wenn \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) gilt, so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=|a| \).
b) Wenn \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \) gilt, so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \max \left(a_{n}, b_{n}\right)=\max (a, b) \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \min \left(a_{n}, b_{n}\right)= \) \( \min (a, b) \).
c) Wenn \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) gilt und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine beschränkte Folge ist, so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0 \).
d) Wenn \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) bestimmt divergiert, so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}=0 \).
(Tipp: Überlegen Sie sich eine andere Darstellung von \( \max (x, y) \) und \( \min (x, y) \) zu \( x, y \in \mathbb{R} \).)
