Was wird hier im Integral gemacht?

Question

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}=2 \int \limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int \limits_{0}^{b} d z \int \limits_{0}^{a z / b} r d r(r \cos \phi+r \sin \phi+z) \\ =4 \pi \int \limits_{0}^{b} z d z \int \limits_{0}^{a z / b} r d r=\left[2 \pi \int \limits_{0}^{b} \mathrm{~A} d z(a z / b)^{2} \Leftarrow \varepsilon \pi \frac{a^{2}}{b^{2}}\right. \\\end{array} \)

Aufgabe:

Integral

Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf die zweite Zeile? Was für Schritte werden da denn gemacht, kann das gar nicht nachvollziehen.

Comments

Was für Schritte werden da denn gemacht

Integration nach φ ausgeführt : trigonom.Fktn. sind 2π-periodisch (→ Integralwert 0) und Rechtecksfläche = Höhe (=rz)* Breite(=2π)

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@hj2166:

Wo kommt so etwas vor? Was wird damit ausgedrückt?

Wie muss man das lesen/verbalisieren?

Answer 1

Aloha :)

Es wurde die Integration über \(d\varphi\) "im Kopf" durchgeführt:

$$I=2\pink{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}}\;\int\limits_{z=0}^b\int\limits_{r=0}^{az/b}r(r\cos\varphi+r\sin\varphi+z)\,dr\,\pink{d\varphi}\,dz$$$$\phantom I=2\int\limits_{z=0}^b\int\limits_{r=0}^{az/b}r\left[r\sin\varphi-r\cos\varphi+z\varphi\right]_{\pink{\varphi=0}}^{\pink{2\pi}}\,dr\,dz$$$$\phantom I=2\int\limits_{z=0}^b\int\limits_{r=0}^{az/b}r\left[\underbrace{\left(-r+2\pi z\right)}_{\varphi=2\pi}-\underbrace{(-r+0)}_{\varphi=0}\right]\,dr\,dz$$$$\phantom I=2\int\limits_{z=0}^b\int\limits_{r=0}^{az/b}r\cdot2\pi z\,dr\,dz=4\pi\int\limits_{z=0}^bz\,dz\int\limits_{r=0}^{az/b}r dr$$