Symmetrische Matrix und Potenzieren von Matrizen

Question

Gegeben ist eine reele symmetrische Matrix A und ich soll beweisen bzw. wiederlegen, das wenn A³ = E ist, das dann auch A = E ist.

Meine Idee war: Ich denke die Aussage stimmt. Nach dem Hauptachsentransformationssatz hat eine reele symmetrische Matrix immer eine Darstellung mit A = PDP^-1, wobei P eine Orthogonalmatrix mit P^t = P^-1 ist und D eine Diagonalmatrix.

Dann gilt E = A³ = (PDP^-1)³ = (PD)³ P^-1 = ?

Ja und hier komm ich nicht weiter, denn damit das ganze ja A ist (Was ich zeigen soll) müsste ja (PD)³ = PD sein, was ja i.A. nicht stimmen kann. Kann mir jemand helfen? (Ich möchte bitte keine Lösung, denn ich will es schon gern selber schaffen, bitte Tipps etc…)

Comments

E = A³ = (PDP^-1)³ =  PD³P^-1.

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Ich möchte bitte keine Lösung, denn ich will es schon gern selber schaffen,

Das freut mich sehr, eine vernünftige Einstellung. Ich hoffe sie wird hier respektiert. Der Tipp von arsinoe4 sollte eigentlich ausreichen.

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Danke für den Tipp und danke nudger für Dein Lob :).

Ich hätte aber noch eine Unklarheit.

Warum gilt (PD)³ = PD³ ?

Isr das nicht (PDP^-1)³ = PDP^-1 PDP^-1 PDP^-1 = (PD)³ P^-1 ?

Answer 1

Der Tipp $(PDP^{-1})^3 = PD^3P^{-1}$ wurde schon gegeben. Das sieht man, wie Du ja schon auch angefangen hast, über das dreimalige Multiplizieren mit sich selbst. Da kommt aber kein $(PD)^3$ vor, beachte genau die Produkte und $P^{-1}P=E$.

Comments

Stimmt. Ich hab das mit PP^-1 = E komplett vergessen.

Ich habe die Gleichheit E = PD³ P^-1 verstanden. Aber D³ = D gilt ja allgemein nicht, wieso folgt dank daraus das mit A?

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Wir gehen von $E=A^3$ aus. Daraus folgt was über $D$. Prüfe genau, was das ist. Lieber auch kleine Schritte schriftlich ausführen.

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Ist das wegen: Wir zeigten

ja A³ = PD³ P^-1 und das kann man ja zu

D³ = P^-1 A³ P = P^-1 P = E umformen. Also ist D³ = E und da D³ einfach das Kubik aller Einträge von D ist, muss also D = E gelten. Also D³ = E = D ?

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Genau. Fehlt noch am Ende die Aussage über A, um die es ja ging.

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Ja also insgesamt dann:

E = A³ = P D³ P^-1 = P D P^-1 = A. (A hatten wir ja am Anfang so gewählt, das A = P D P^-1 ist). Damit ist A = E gezeigt.

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Naja, so kannst Du das nicht aufschreiben. $D^3=D$ ist eine Folgerung.

Also: Sei $A^3=E$, dann gibt es (wegen....) eine orthogonale Matrix $P$ mit $A=...$. Also $E=A^3=(PDP^{-1})^3=...$, damit ..., also $D^3=D$. Da (Diagonalelemente von $D^3$ sind...), folgt $D=E$, also $A=...=E$. Der Beweis muss die logische Abfolge widerspiegeln. Jeder Schritt muss klar sein und aus dem vorher gesagten folgen, mit Begründung.

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Super, danke Dir für die Hilfe! :)