Aloha :)
Per Definition hat die Dirac'sche Deltafunktion \(\delta(x)\) zwei Eigenschaften.
1) Sie hat nur an der Stelle \(0\) einen von Null verschiedenen Wert:$$\delta(x)=0\quad\text{für }x\ne 0\quad;\quad\delta(0)\ne0$$
2) Zusammen mit einer stetigen Funktion \(f(x)\) gilt:$$\int\limits_a^bf(x)\cdot\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0)\quad\text{für }x_0\in[a;b]$$
Du brauchst also nur zu schauen, an welcher Stelle \(x_0\) im Integrationsintervall das Argument der Delta-Funktion zu Null wird. Der Funktionswert \(f(x_0)\) an dieser Stelle ist dann gleich dem Wert des Integrals.
Hier in der Aufgabe wird das Argument \(\tau\) der Delta-Funktion für \(\tau=0\) zu Null. Daher gilt:$$\int\limits_0^tx(t-\tau)\,\delta(\tau)\,d\tau=x(t-0)=x(t)$$
Wenn die Dirac-Funktion um \(2\) nach rechts verschoben wäre, würde gelten$$\int\limits_0^tx(t-\tau)\,\delta(\tau-2)\,d\tau=x(t-2)\quad\text{für }t\ge2$$
Das Argument \((\tau-2)\) der Delta-Funktion wird nämlich für \(\tau=2\) zu Null. Wichtig ist dann aber, dass \(t\ge2\) gelten muss, damit das Null-Argument der Delta-Funktion im Integrationsintervall liegt.
