Aloha :)
Forme den Integranden zunächst etwas um:$$I=\int\limits_0^{\pi/6}\frac{2}{\cos(x)}\,dx=2\int\limits_0^{\pi/6}\frac{1}{\cos\left(\frac x2+\frac x2\right)}\,dx=2\int\limits_0^{\pi/6}\frac{\cos^2\left(\frac x2\right)+\sin^2\left(\frac x2\right)}{\cos^2\left(\frac x2\right)-\sin^2\left(\frac x2\right)}\,dx$$Im Zähler haben wir den trigonometrischen Pythagoras verwenden und im Nenner das Additionstheorem für den Cosinus. Nun kürzen wir mit \(\cos^2\left(\frac x2\right)\) und erhalten$$I=2\int\limits_0^{\pi/6}\frac{1+\tan^2\left(\frac x2\right)}{1-\tan^2\left(\frac x2\right)}\,dx$$
Nun substituieren wir \(t\coloneqq\tan\left(\frac x2\right)\). Die Ableitung:$$\frac{dt}{dx}=\left(\frac{\overbrace{\sin\left(\frac x2\right)}^{=u}}{\underbrace{\cos\left(\frac x2\right)}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos\left(\frac x2\right)\cdot\frac12}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos\left(\frac x2\right)}^{=v}-\overbrace{\sin\left(\frac x2\right)}^{=u}\cdot\overbrace{\left(-\sin\left(\frac x2\right)\cdot\frac12\right)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2\left(\frac x2\right)}_{=v^2}}$$$$\phantom{\frac{dt}{dx}}=\frac12\cdot\frac{\cos^2\left(\frac x2\right)-\sin^2\left(\frac x2\right)}{\cos^2\left(\frac x2\right)}=\frac12\cdot\left(1+\tan^2\left(\frac x2\right)\right)=\frac{1+t^2}{2}$$liefert uns das Differential \(dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}\) und wir erhalten folgendes Integral:$$I=2\int\limits_{t(0)}^{t(\pi/6)}\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=2\!\!\!\!\int\limits_{0}^{\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}\!\!\!\!\frac{\green2}{1-t^2}\,dt=2\!\!\!\!\int\limits_{0}^{\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}\!\!\frac{(\green1\pink{+t})+(\green1\pink{-t})}{(1+t)(1-t)}\,dt$$$$\phantom I=2\!\!\!\!\int\limits_{0}^{\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt=2\cdot\left[-\ln|1-t|+\ln|1+t|\right]_0^{\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}$$$$\phantom I=2\cdot\left[\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|\right]_0^{\pink{\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)}}=2\cdot\ln\left|\frac{1+\pink{(2-\sqrt3)}}{1-\pink{(2-\sqrt3)}}\right|=2\cdot\ln\left|\frac{3-\sqrt3}{\sqrt3-1}\right|$$$$\phantom I=2\cdot\ln\left|\frac{\sqrt3(\sqrt3-1)}{\sqrt3-1}\right|=2\cdot\ln\left(\sqrt3\right)=\ln\left((\sqrt3)^2\right)=\ln(3)$$
