Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P,Q,R auf einer Geraden liegen

Question

a) P(5/-1) Q(10/1) R(8/0) b) P(2/-2) Q(-1/13) R(1/3)

Answer 1

Gehe so vor:

Bestimme aus den Koordinaten der Punkten P und Q die Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte. Setze dann die Koordinaten des Punktes R in diese Geradengleichung ein.

Ergibt sich eine wahre Aussage der Form 1 = 1 , dann liegt R auf der Geraden durch P und Q und somit liegen dann alle drei Punkte auf dieser Geraden. Andernfalls liegt R nicht auf der Geraden durch P und Q und somit liegen dann eben nicht alle drei Punkte auf dieser Geraden.

Versuche mal, diese Beschreibung anhand der Beispiele mit Leben zu füllen ... :-)

Comments

@JotEs
siehe meine Antwort. Die Geradengleichung wurde ermittelt,
aber für R muß nicht 1 = 1 herauskommen. Wennschon dann
0 = 0

mfg Georg

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Die Gleichungen 1=1 und 0=0 sind äquivalent. Ist es vollkommen egal welche von beiden man erhält. Es geht auch nur darum eine wahre Aussage zu erhalten.

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" Setze dann die Koordinaten des Punktes R in diese Geradengleichung ein.
Ergibt sich eine wahre Aussage der Form 1 = 1 falls R auf der Geraden liegt. "
@tatmas
Ich glaube es ist ein simples Verständigungsproblem.  Ich habe mir Diff- und
Integralrechnung in den letzten Jahren selbst beigebracht  und kenne nicht die
mathematisch / logischen Ausdrucksweisen.
Von der Alltagssprache her verstand ich : Ist das Ergebnis 1 = 1 dann...
( vielleicht hat es der Fragesteller auch so verstanden ).
Gemeint war : ist linker Term = rechter Term dann ist die Aussage
wahr und R liegt...
Also ein reines Verständigungsproblem.

mfg Georg

Nachtrag : kaum 5 Minuten nachdem ich dies geschrieben habe fand ich
folgende Aufgabe :
" Eine aus Asien eingeschleppte Pflanze vermehrt sich über Ableger so stark,
das im Folgejahr immer durchschnittlich  5  Pflanzen weiter existieren.
Wie viele Pflanzen hätte ich dann nach 8 Jahren?
Aussage : beschrieben wird folgende Reihe
1 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 usw
Gemeint ist
f ( x ) = 5^x
Es geht hier im Forum auch mitunter um das Ausräumen
von Verständigungsproblemen.

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@georgborn: Es ist kein Verständigungsproblem, wenn du sagst etwas sei falsch, dieses aber richtig ist (und genau das hat dein Post getan.). Das ist schlicht eine falsche Aussage. Und ich sehe den Sinn hier auch daran nichts Falsches zu verbreiten. Was dein Beispiel aussagen soll versteh ich nicht.

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@tatmas
Ich sehe unsere Differenzen immer noch unter " Verständigungsproblemen ".

" Setze dann die Koordinaten des Punktes R in diese Geradengleichung ein. "
ergibt  : 0 = 0.2
Soweit stimmen wir noch überein.

" Ergibt sich eine wahre Aussage der Form 1 = 1 , dann... "
Habe ich verstanden als
" Ergibt sich als Ergebnis 1 = 1, dann... "

  So habe ich es verstanden   Ein Verständigungsproblem
ist also aufgetreten. Dies liegt daran das ich die mathematische
Formulierung " Ergibt sich eine wahre Aussage der Form 1 = 1 " bisher
nicht kannte. Diese ist mir hier zum ersten Mal begegnet.

Eine Formulierung
"  Ergibt sich eine wahre Aussage, dann... "
hätte ich richtig gedeutet.

  Für mein Empfinden handelt es sich um ein simples Verständigungsproblem
zwischen Alltagssprache und Mathematikersprache.

  mfg Georg

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Wenn dir die Aussage zum ersten Mal begegnet, dann schreibe bitte nicht: " das ist falsch", sondern: Ich kenn das so nicht, ich denke es ist falsch. Das "Verständigungsproblem" ist dass du etwas als falsch bezeichnest hast, weil du es nicht kennst.

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@tatmas. Dann will ich auch mal supergenau sein..

Ich beziehe mich jetzt einmal auf deinen 1.Kommentar.
" Die Gleichungen 1=1 und 0=0 sind äquivalent. Ist es vollkommen egal
welche von beiden man erhält.
Es geht auch nur darum eine wahre Aussage zu erhalten. "

Der unterstrichene Teil ist komplett falsch. Es geht nicht darum eine wahre
Aussage zu erhalten.
Die Fragestellung lautet " Prüfe ob die Punkte auf einer Geraden liegen "
Ob die abschließende Aussage  wahr oder falsch ist, ist egal.

mfg Georg

Im gesamtem Kontext : mein 1. Kommentar:
@JotEs
siehe meine Antwort. Die Geradengleichung wurde ermittelt,
aber für R muß nicht 1 = 1 herauskommen. Wennschon dann
0 = 0
jetzt nachträglich : weil der y-Wert in der Fragestellung mit 0 angegeben wurde.

Bei deinem 1.Kommentar bist du fälschlicherweise davon ausgegangen
das das Ergebins 0 = 0 ist. Nur so läßt sich verstehen
" Die Gleichungen 1=1 und 0=0 sind äquivalent. Ist es vollkommen egal
welche von beiden man erhält.  " ( Anmerkung : sehe ich auch so )
" Es geht auch nur darum eine wahre Aussage zu erhalten. "
Die Antwort spricht nur dafür das du von einer Aussage 0 = 0 ausgegangen
bist, was aber nicht richtig ist.
Aufgrund dieses Fehlers in der Logik ist dein gesamter 1.Kommentar falsch.
Nach meiner Einschätzung.

Zu meinem Beispiel mit den Pflanzen
" Was dein Beispiel aussagen soll versteh ich nicht. ".
Der Fragesteller hat sich sprachlich nicht richtig ausgedrückt.

Die Reihe
1 - 5 - 4 - 6 - 7 - 3 - 5  - 5 - 5
entspricht sprachlich / heißt doch
Es existieren in den Folgejahren durchschnittlich 5 Pflanzen
 

 

 

 

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""Es geht auch nur darum eine wahre Aussage zu erhalten. " Der unterstrichene Teil ist komplett falsch. Es geht nicht darum eine wahre Aussage zu erhalten." Das wiederrum ist vollkommen falsch, weil du aus dem Kontext reißt. mein Satz bezieht sich auf meinen Satz zuvor, nicht auf die Fragestellung, ist also vollkommen richtig. Wie wär's denn einfach zu sagen, dass du was falsches geschrieben hast. ist kein beinbruch, sondern zeugt von Größe. Und wo bitte hat sich der Fragensteller falsch ausgedrückt, der hat doch fast gar nichts geschrieben?

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@tatmas

Ich habe keinerlei Probleme Fehler einzugestehen.

Ich entwickele seit 25 Jahren Computerprogramme und in meinen
Programmen waren auch ab und wann Fehler. Meinen Kunden
wurden, bei  relevanten Fehlern,  diese mitgeteilt, eventuell auch
ein korrigiertes Programm beigelegt.

zu meinem Kommentar an JotEs : hier habe ich in der Antwort von JotEs
etwas falsch verstanden und einen sehr moderaten Kommentar dazu
abgegeben. Die ganze Anleitung zur Berechnung ist doch nur : rechne für
2 der gegebenen Punkte die Gradengleichung aus, setze den x-Wert des
3. Punkts in die Geradengleichung ein und überprüfe ob der so erhaltene
Funktionswert der angegebenen y-Koordinate entspricht. Finito. Das war´s
von meiner Seite.

Hier im Forum kommt es doch relativ häufig vor das ich bei Fragen doch
ersteinmal sortieren muß : was meint der Fragesteller überhaupt ?

Beim letzten Beispiel schrieb der Fragesteller

" Eine aus Asien eingeschleppte Pflanze vermehrt sich über Ableger so stark,
das im Folgejahr immer durchschnittlich  5  Pflanzen weiter existieren.
Wie viele Pflanzen hätte ich dann nach 8 Jahren?
Nach meinem Sprachempfinden meint er aber:
" Eine aus Asien eingeschleppte Pflanze vermehrt sich über Ableger so stark,
das jede Pflanze im Folgejahr immer durchschnittlich  5  Pflanzen ausbildet.

Meiner Meinung nach hat sich der Fragesteller falsch ausgedrückt.

So nun ist´s genug.

(* Scherzmodus an *)
Ich hatte mir vorgenommen mich heute Nachmittag noch ein wenig mit der
Goldbachschen Vermutung zu beschäftigen und diese auch zu lösen. Dann muß
ich diese, im versiegekten Umschlag, beim Rechtsanwalt zur Wahrung meiner
Priotitätsansprüche auch noch hinterlegen.
(* Scherzmodus aus *)

Georg

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Und ich habe in sehr moderatem Ton geschrieben, warum dein Kommentar falsch ist, wass du ja mittlerweile einsiehst. Müssen wir hier deswegen so ewig rumdiskutieren? Und ich verstehe nach wie vor nicht was dieses pflanzenbsp. mit diesem konkreten post zu tun hat? Ich sehe hier in der Frage nur "a) P(5/-1) Q(10/1) R(8/0) b) P(2/-2) Q(-1/13) R(1/3)"

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@tatmas

Dein 1.Kommentar war:
" Die Gleichungen 1=1 und 0=0 sind äquivalent.
Ist es vollkommen egal welche von beiden man erhält.
Es geht auch nur darum eine wahre Aussage zu erhalten. "

Eine bessere und einfachere Antwort wäre gewesen :

Hallo Georg,

  du hast JotEs mißverstanden. Nach dem Einsetzen der Koordi-
naten von R in die ermittelte Geradengleichung soll nicht als
Ergebnis die Gleichung 1 = 1 herauskommen.

  JotEs hat formuliert  " eine Aussage der Form 1 = 1 " .

  Damit meint er  " eine Gleichung  bei der der linke Term gleich dem
rechten Term " ist, sprich der Funktionswert der Geradengleichung
gleich dem gegebenen y-Wert ist.

Daraufhin hätte ich geantwortet :
Hallo tatmas, vielen Dank für die Klarstellung. Wieder was
dazugelernt. mfg Georg

Von deinem 1.Kommentar :
" Die Gleichungen 1=1 und 0=0 sind äquivalent.
Ist es vollkommen egal welche von beiden man erhält.
Es geht auch nur darum eine wahre Aussage zu erhalten. "
verstehe ich, jetzt endlich, den ersten Satz. Sonst scheine ich
nur Mißinterpretationen zu entwickeln.

Georg

Answer 2

a) P(5/-1) Q(10/1) R(8/0)

m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( -1 - 1 ) / ( 5 - 10 )
m = 2/5 = 0.4
y = m * x + b
-1 = 0.4 * 5 + b
b = -3
y = 0.4 * x - 3
Probe
1 = 0.4 * 10 - 3
1 = 1
Liegt R auf der Geraden ?
0 = 0.4 * 8 - 3
0 = 0.2
Nein.

Answer 3

Alternative: Prüfe, ob die Vektoren PQ und PR Vielfache voneinander sind. 

Wenn ja, liegen die Punkte auf einer Geraden

a) P(5/-1) Q(10/1) R(8/0)

PQ = (10-5 / 1 -(-1)) = (5|2) , PR = (3| 1)

PQ ist kein Vielfaches von PR. Daher liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

b) P(2/-2) Q(-1/13) R(1/3)

PQ = (-3 | 15), PR = (-1| 5)

Weil PQ = 3*PR, liegen die Punkte auf einer Geraden.

Anmerkung Spezielfall: Wenn einer der Nullvektor ist, liegen die Punkte sowieso auf einer Geraden.