Gegeben war die Determinantenabbildung
det: R^(n x n) -> R, wobei R^(n x n) der Vektorraum der (n x n)-Matrizen mit reelwertigen Einträgen ist.
Ich sollte dann det im Punkt E partiell ableiten, wobei E die (n x n)-Einheitsmatrix bezeichnet.
Meine Idee:
Wir wissen, das {E_ij : i,j aus {1,…,n}} eine Basis des R^(n x n) ist. E_ij bezeichnet die Matrizen mit einem Eintrag 1 an der Stelle (i,j) und Rest 0.
Allgemein ist ja die Definition der i-ten partiellen Ableitung geg. als:
f(x) = lim t-> 0 f(x+t e_i) - f(x) / t
wobei e_i der i-te Einheitsvektor ist. Hier habe ich dann ansatt e_i eben E_ij genommen. Der Unterschied ist, das es bei Funktionalen
R^n -> R ja n partielle Ableitungen (1.Ord) gibt und da die Anzahl der Basiselemente E_ij bei n^2 = dim(R^(n x n)) liegt, gibt es für det also n^2 partielle Ableitungen. Diese ist dann geg. als: (Achtung: Hier ist dieses 1_n = E !)
Text erkannt:
\( \frac{\partial \operatorname{det}}{\partial a_{i j}}\left(\mathbb{1}_{n}\right)=\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{det}\left(1+t E_{i j}\right)-\operatorname{det}\left(\mathbb{1}_{n}\right)}{t}=\left\{\begin{array}{l}0, \text { falls } i \neq j \\ 1, \text { falls } i=j\end{array}\right. \)
da det(E + t E_ij) = 1 oder 1+t ist (Je nachdem ob die 1 von E_ij oberhalb bzw. unterhalb der HD oder eben auf der HD platziert ist).
Ist mein Ansatz richtig?
