Berechnen Sie den erwarteten Nutzen, den der Teilnehmer nach seiner Entscheidung erzielt, wenn

Question

Aufgabe:

Ein Teilnehmer einer Spielshow im Fernsehen hat die Wahl zwischen zwei Möglichkeiten: Einstreichen eines sicheren Gewinns von  241 Euro oder Teilnahme an einem Glücksspiel. Der Gewinn des Glücksspiels wird durch die Zufallsvariable   G beschrieben. Diese hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

        g   70       200   210    240   370

P(G=g)   0,27   0,32   0,11   0,02   0,28 

Nach der Erwartungsnutzentheorie entscheidet sich der Teilnehmer so zwischen den beiden Möglichkeiten, dass der erwartete Nutzen maximiert wird. Berechnen Sie den erwarteten Nutzen, den der Teilnehmer nach seiner Entscheidung erzielt, wenn die Nutzenfunktion U(g)= ln(g)  vorliegt.

Problem/Ansatz:

Ich kam auf das Ergebnis 5,2 das ist aber falsch. Könnte mir hierbei bitte jemand helfen?

Comments

Ich würde zuerst den Erwartungswert ermitteln.

vgl:

https://www.mathelounge.de/604771/teilnehmer-einer-spielshow-erwarteter-gewinn

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Ich kam auf das Ergebnis 5,2

Wenn Du noch verraten würdest, wie Du gerechnet hast, dann könnte jemand erklären, wo der Fehler liegt.

Answer 1

Der erwartete Nutzen beim Einstreichen des Direktgewinns von 241 Euro ist doch

LN(241) = 5.485

Du kannst doch keinen Wert darunter bekommen, wenn die Person seinen Nutzen maximieren möchte.

Comments

LN(241) = 5.485

Was sagt dieser Wert aus? Warum logarithmiert man?

Der Erwartungswert sagt doch auch etwas aus, oder?

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Man logarithmiert, weil der erwartete Nutzen maximiert werden soll (siehe Aufgabenstellung). Damit muss man einen Geldbetrag als Gewinn immer in einen Nutzen umrechnen.

U(g) = ln(g)

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Danke. Was soll man sich unter Nutzen vorstellen?

Wie wird er definiert? Was sagt 5,485 konkret aus? Was ist der Bezugrahmen/ Maßstab?

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Die 5.485 ist zunächst nur eine Zahl, die den Nutzen angibt.

In der Wirtschaftstheorie und Spieltheorie ist der erwartete Nutzen ein zentrales Konzept, um zu verstehen, wie Entscheidungen unter Unsicherheit getroffen werden.

Er hilft, die beste Handlungsalternative zu wählen, Ressourcen zu optimieren und den Wohlstand zu maximieren, indem die Präferenzen und Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse berücksichtigt werden.

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Danke, das klingt alles sehr abstrakt.

Hättest du ein anschauliche Bespiel, sodass man sich unter den Zahlenwerten etwas vorstellen kann bzw. ihre Aussagekraft erkennen kann?

Ich will nicht lange rumgooglen müssen. Die Materie ist mir nicht allzu vertraut, würde sie aber besser verstehen wollen.

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Dafür ist ja obiges an den Haaren herbeigezogene Praxisbeispiel da, um sich etwas darunter vorzustellen. Du könntest einmal den erwarteten Gewinn vergleichen. Aber Achtung. Gewinn ist nicht gleich Nutzen. Ein doppelt so hoher Gewinn hat vermutlich nicht den doppelten Nutzen.

Hier geht man davon aus, dass der Nutzen nur logarithmisch wächst.

Vergleich des erwarteten Gewinns

A: 241

B: 70·0.27 + 200·0.32 + 210·0.11 + 240·0.02 + 370·0.28 = 214.4

Vergleich des erwarteten Nutzens

A: ln(241) = 5.485

B: ln(70)·0.27 + ln(200)·0.32 + ln(210)·0.11 + ln(240)·0.02 + ln(370)·0.28 = 5.196

Hier wäre es also egal ob ich den Erwarteten Gewinn oder den erwarteten Nutzen nehme. Ich würde mich immer für Alternative A entscheiden.

Und jetzt nimm nicht einen sicheren Gewinn von 241 bei Alternative A sondern nur einen sicheren Gewinn von 200 Euro.

Wie entscheidet sich jetzt jemand der den Gewinn maximieren möchte und jemand der den Nutzen maximieren möchte.

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Noch ein Beispiel. Ich spreche dich auf der Straße an und biete dir folgendes Spiel an.

Für einen Einsatz von 10 Euro darfst du einen Würfel werfen und würfelst du eine 6 bekommst du 100 ausgezahlt. Bei einer anderen Zahl bekommst du leider keine Auszahlung.

Wenn jemand rational nur nach dem erwarteten Gewinn geht, würde jeder bei dem Spiel mitmachen. Allerdings stellt man fast, dass die Mehrheit die Teilnahme an dem Spiel ablehnt.

Die meisten lehnen das Spiel sogar ab, wenn ich ihnen vorab den Einsatz von 10 Euro schenke und sie dann frage ob sie an dem Spiel teilnehmen wollen.

Offensichtlich haben 10 Euro sicher einen höheren Nutzen als eine Aussicht auf 100 Euro mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6.

Um solche Diskrepanzen abzubilden, führt man Nutzenmodelle ein, die versuchen irgendwelche Gewinne in Nutzen umzurechnen.

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Danke, sehr gute Erklärung.

Kannst du mir noch sagen, was mit Nutzen genau gemeint ist. Kriterien?

Wann kann der Nutzen höher sein als der Gewinn. Vlt. mit einem anderen Beispiel.

z.B. Geldanlage

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Kannst du mir noch sagen, was mit Nutzen genau gemeint ist. Kriterien?

Nutzen bezieht sich auf den subjektiven Wert oder die Zufriedenheit, die eine Person aus einem bestimmten Ergebnis oder einer Entscheidung zieht.

Wann kann der Nutzen höher sein als der Gewinn. Vlt. mit einem anderen Beispiel.

Job A: Bietet 70 000 Euro pro Jahr.

Job B: Bietet 60 000 Euro pro Jahr, hat aber eine bessere Work-Life-Balance, ist weniger stressig und befindet sich in deiner Lieblingsstadt.

Gewinn: In rein monetären Begriffen ist Job A besser, da er mehr Geld bietet.

Nutzen: Wenn du die Faktoren wie Stress, Lebensqualität und persönliche Zufriedenheit berücksichtigst, könnte Job B für dich einen höheren Nutzen haben, obwohl der monetäre Gewinn niedriger ist.

Auch eine sichere Kapitalanlage kann einen höheren Nutzen haben als eine unsichere Kapitalanlage, obwohl diese höhere Renditen verspricht.

Es ist die Frage, wie du selber Unsicherheit oder die Sicherheit bewerten willst.

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Vielen deine Mühe. Sehr anschaulich erklärt.

Das Problem ist, den Nutzen zu quantifizieren. Welchen Wert in Euro hat ein gutes Arbeitsklima? Das kann man nicht in Geld ausdrücken. Hier spielt das subjektive Empfinden die entscheidende Rolle.

Das ergab eine Umfrage des Beratungsinstituts Yougov. Müssen sich Angestellte in Deutschland zwischen einem guten Arbeitsklima und einem hohen Gehalt entscheiden, so ist ihre Antwort eindeutig: Drei von vier Angestellten (76 Prozent) ist eine angenehme Atmosphäre am Arbeitsplatz wichtiger als eine hohe Bezahlung.21.01.2016

oder hier:

https://www.fr.de/ratgeber/karriere/arbeitsklima-fuer-juengere-arbeitnehmer-wichtiger-als-geld-zr-91526183.html

Danke für deine Freundlichkeit und Mühe. Du bist ein guter und sehr bemühter Erklärer!