Stammfunktion f(x) = 5*x*e^-x2

Question

Aufgabe:

Was ist eine mögliche Stammfunktion zur Ableitung f(x) = 5*x*e^-x^2

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du kannst den Integranden so umschreiben$$I=\int5x\cdot e^{-x^2}\,dx=\left(-\frac52\right)\int(-2x)\cdot e^{-x^2}\,dx$$dass die Ableitung \((-2x)\) von \((-x^2)\) als Faktor im Integranden auftaucht. Daher bietet sich die folgende Substitution an:$$u\coloneqq -x^2\implies\frac{du}{dx}=-2x\implies dx=-\frac{du}{2x}$$Das Integral wird dadurch zu:$$I=-\frac52\int (-2x)\cdot \underbrace{e^u}_{=e^{-x^2}}\cdot \underbrace{\left(-\frac{du}{2x}\right)}_{=dx}=-\frac52\int e^{u}\,du=-\frac52e^{u}+\text{const}=-\frac52e^{-x^2}+\text{const}$$

Comments

Vielen Dank!

---

Man braucht hier gar nicht zu substituieren.

Man muss nur überlegen: -2x* z = 5

-> z = 5/-2

F(x) = -5/2*f(x) +C

---

Also wenn man nicht schon weiß, was du mit deinem (für unwissende Fragesteller) ominösen z ausdrücken willst, ist das nicht gut erklärt.

---

Zumal \(-2x\cdot \frac{5}{-2}\neq 5\) ist. ;) Zumindest für \(x\neq 1\).

Answer 2

Alternativ:

Eine Stammfunktion hat die Gestalt \(F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x^2}\).

Ableiten mit der Produktregel ergibt

\(F'(x)=f(x)=a\mathrm{e}^{-x^2}-2x(ax+b)\mathrm{e}^{-x^2}=(-2ax^2-2bx+a)\mathrm{e}^{-x^2}=5x\mathrm{e}^{-x^2}\).

Ein Koeffizientenvergleich liefert jetzt \(a=0\) und \(b=-\frac{5}{2}\) und damit

\(F(x)=-\frac{5}{2}\mathrm{e}^{-x^2}+C\).

Comments

Dankeschön! Hat mir sehr geholfen.

---

Also wenn man nicht schon weiß, was du mit deinem (für unwissende Fragesteller) ominösen z ausdrücken willst, ist das nicht gut erklärt.

Ich wollte nicht ausführlich erklären, sondern zum Nachdenken anregen, was hier nicht so schwer sein sollte.

Auf den Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung hatte Tschakabumba schon hingewiesen.

Der Rest ergibt sich aus dem Kontext.