Aloha :)
Wir betrachten die Funktion \(f(x)\) zunächst für endlich viele Summanden:$$f_N(x)=\sum\limits_{n=1}^N\frac2nx^n=2\sum\limits_{n=1}^N\frac{x^n}{n}=2\sum\limits_{n=1}^N\int\limits_0^xy^{n-1}dy=2\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{n=1}^Ny^{n-1}\right)dy$$$$\phantom{f_N(x)}=2\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^{N\pink{-1}}y^{(n\pink{+1})-1}\right)dy=2\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{n=0}^{N-1}y^n\right)dy=2\int\limits_0^x\left(\frac{1-y^N}{1-y}\right)dy$$
Für \(|y|<1\) bzw. \(|x|<1\) konvergiert die Summe der geometrischen Reihe für \(N\to\infty\):$$f(x)=2\int\limits_0^x\frac{1}{1-y}\,dy=2\left[-\ln|1-y|\right]_0^x=-2\ln(1-x)=\ln\left(\frac{1}{(1-x)^2}\right)$$
