Bestimmen Sie Ableitung von f_{\alpha}(z) .

Question

Aufgabe:

Frage bzgl 3b) und weiterführend 3d) (Siehe Bild). Es wurde 3b) gelöst:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \) \( \frac{a(a(a-1)...(a-n+1)}{n!} \)

Es wäre jetzt gut zu wissen, ob die Ableitung korrekt ist um dann, Ergebnis für d) zu kennen.

LG

Text erkannt:

3. Aufgabe: Potenzreihen

Sei \( \alpha \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \) mit \( \alpha \notin \mathbb{N} \) und sei \( f_{\alpha}(z) \) die Funktion, die durch die Potenzreihe
\( \begin{aligned} f_{\alpha}(z) & =1+\alpha z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} z^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} z^{3}+\ldots \\ & =1+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} z^{n} \end{aligned} \)
definiert ist.
a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius \( R \) von \( f_{\alpha}(z) \).
b) Bestimmen Sie die Potenzreihe der Ableitung:
\( f_{\alpha}^{\prime}(z)=\sum \limits_{m=0} b_{m} z^{m} . \)
c) Zeigen Sie mit mathematischer Induktion in \( m \geq 1 \) an, dass
\( (-1)^{m} \frac{b_{m}}{\alpha}=\sum \limits_{n=0}^{m}(-1)^{n} a_{n} . \)

Comments

Mich würde interessieren, was die Ableitung hier ausdrückt.

Welcher Zweck wird verfolgt?

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Falls es in deinem Kopf jetzt klarer wird, die Teilaufgabe d) ist abhängig von der hier ausgeführten Ableitung.

Text erkannt:

d) Benutzen Sie die geometrische Reihe und die Formel der Produkt von Potenzreihen
\( \left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}\right)\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k}\right)=\sum \limits_{m=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{n+k=m} a_{n} c_{k}\right) z^{m}, \)
um anzuzeigen, dass für \( |z|<R \),
\( f_{\alpha}^{\prime}(z)=\frac{\alpha f_{\alpha}(z)}{1+z} \)

Answer 1

$$f'_{\alpha}(z) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!} n z^{(n-1)} \qquad|\quad m = n-1 \\= \sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-m)}{m!} z^{m}$$