Punkte einer Sinusfunktion

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x) = 4 •sin(π/6• t) beschreibt für 0 ≤ t ≤ 12 in etwa den momentanen Höhenzunahme bzw. -abnahme des Wassers an diesem Ort. [t in Stunden, f(t) in m/h]

Es wird vermutet, dass die Funktion F(t) = - 24/π •cos (π/6 •t) eine Stammfunktion von f ist.

Problem/Ansatz:

Hey,

ich würde zu dieser Funktion f(x) gerne alle besoneren Punkte, also die Nullstellen, Hoch-/Tiefpunkte und Wendepunkte ausrechnen und ihren Kontext verstehen. Leider habe ich Probleme dabei, weil es sich hierbei um eine Sinusfunktion handelt und ich normalerweise "leichtere" Sinusfunktionen hatte ohne ein π und mit einem x, womit ich ganz einfach die erste Nullstelle bestimmt habe, daraus dann die Periodenlänge gerechnet habe und dann mit dem Ergebnis davon weitere nullstellen berechnet, mit denen ich dann die Hoch und Tiefpunkte bestimmen konnte, jedoch klappt das soweit ich weiß nicht mit dieser Funktion.

Ich würde mich sehr über schnelle Antworten und ausführliche Erklärungen freuen.

Mit freundlichen Grüßen.

Comments

Wo ist das denn schon wieder ein Duplikat? Es geht hier um einen völlig anderen Sachverhalt!

Answer 1

Mache dir einmal klar, welche Auswirkung der Faktor \(\frac{\pi}{6}\) vor dem \(t\) hat und wie sich das genau auf die Periodenlänge auswirkt. Dazu hilft es, sich die Funktion einmal zu zeichnen. Dieser Faktor bewirkt letztendlich nämlich nichts anderes als eine Streckung des Graphen in \(x\)-Richtung, womit die Periode in diesem Fall länger wird.

Comments

Den Faktor 6/π habe ich jetzt verstanden. Das heißt also dass die nullstellen im 6er Abstand sind, aber mir fällt es schwer das rechnerisch darzustellen.

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Für den normalen Sinus liegen die Nullstellen bei \( 0, \pi, 2 \pi,... \). Jetzt muss also gelten \( \frac{\pi}{6}x =0 \), \( \frac{\pi}{6}x = \pi \), \( \frac{\pi}{6}x= 2 \pi \) usw.

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Achso das heißt also ich müsste theoretisch für x ganze Zahlen einsetzen?

Wie ist das mit den anderen Punkten, weil ich dachte eigentlich, dass ich durch die Rechnung der nullstellen die anderen Punkte ausrechnen kann, aber für die nullstellen gibt es ja nicht wirklich etwas zu rechnen, wenn ich richtig verstehe

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Nein, die \(x\)-Werte müssen keine ganzen Zahlen sein. In diesem Fall sind sie es aber. Für die anderen Stellen, wie Extremstellen, gehst du genauso vor. Notwendige Bedingung über die Ableitung, dann überlegen, wo der Kosinus seine Nullstellen hat dann das gleiche Schema.

Answer 2

pi/6 ist eine Zahl wie jede andere auch. pi/6 = 0,5235 ... (irrational)

Es gilt:

f(t) =a*sin(bt)

f '(t) = ab*cos(bt)

f ''(t) = -ab^2*sin(bt)

f '''(t) = -ab^3(cosbt)

f(t) =4 •sin(π/6• t)

Nullstellen:

f(t) = 0

sin(pi/6*t) = 0

Der sin wird 0 bei 0°, 180°, 360° usw. allgemein bei k*pi, k∈Z

pi/6*t = k*pi

t= 6k

Extrema:

f '(t) =0

f '(t) = 4*cos(pi/6*t)* pi/6 =  2/3*cos(pi/6*t), Faktor- und Kettenregel

Der cos wird 0 bei 90°, 270°, 450° usw., allgemein bei pi/2+k*pi

cos(pi/6*t)= 0

pi/6*t = pi/2+k*pi

t= 3+6k

eimsetzen in f ''(t):

f ''(t) = -1/9*sin(pi/6*t)

f ''(t) >0 -> Minimum

f ''(t)<0 -> Maximum

Wendepunkt:

f ''(t)= 0

pi/6*t = pi/2+k*pi

Comments

Welche schritte haben Sie gemacht, um von π/6 • t= k•π auf t=6k zu kommen

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Welche Schritte würdest du machen, um von \(5x=10\) auf \(x=2\) zu kommen?

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ich wollte nur wissen welche Rechenschritte gemacht wurden, weil ich die Formel nicht umgestellt bekomme dass t da alleine steht.

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Kannst du meine Frage beantworten? Dann solltest du auch die anderen Schritte verstehen. Du weißt doch hoffentlich, wie man eine einfache Gleichung umstellt...

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5x = 10    :5

x= 2

So eine einfache Gleichung bekomme ich umgestellt. Mir fällt meine Gleichung komischerweise nur schwerer

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Du musst doch nur durch das dividieren, was vor dem t steht und man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. Dann kürzt sich da noch einiges weg, fertig.