ich habe ein Problem. Hier ist eine Matrix (3x3) mit einem Parameter, die auf positive Definitheit überprüft werden soll, also ich sollte die λ angeben, für die A positiv definitit ist. Ich habe es zuerst mit dem Hauptminorenkriterium gemacht und dann mit der hauptsächlichen Definition.
Text erkannt:
Entscheide für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) Ist \( A=\left(\begin{array}{lll}1 & \lambda & 0 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) posiliv definit \& positiv semidedinit. \( =\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}1 & \lambda & 0 \\ \lambda & 0 & \lambda\end{array}\right)=\lambda-\lambda^{3}>0 \Leftrightarrow \lambda\left(u-\lambda^{2}\right)>0 \Leftrightarrow \lambda \in(-\infty,-1) \cup(0,1) \) \( (-1,0) \) valan) \( \left.\right|^{\lambda\left(1-\lambda^{2}\right)} \)
Also i.A. für \( \lambda \in(0.1) \) gill die p. DH van A nach H.M.K.
Es gilt \( \left(x_{1} x_{2} x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(x_{1} x_{2} x_{3}\right)\left(\begin{array}{cc}x_{1}+\lambda x_{2} \\ \lambda & x_{1}+x_{2} \\ \lambda x_{3}\end{array}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}=0 \)
Das Problem ist, nach dem Hauptminorenkr. muss 0 < λ < 1 sein, damit alle Hauptminoren echt positiv sind.
Jedoch dürfte ich ja λ = 0 in die Hauptdefinition einsetzen und hätte dann da einen echt positiven Ausdruck x1^2 + x2^2, der für x≠0 echt grösser 0 ist. Also nach der Definition ist λ = 0 für die positiv Definitheit zulässig, jedoch verneint es das Hauptminorenkriterium. Kann mur einer das aufklären?
