Zeigen Sie, dass h:=g \circ f auf A differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Question

Aufgabe:

Auf \( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x, y>0\right\} \) und \( B=\left\{(u, v, w) \in \mathbb{R}^{3}: w>0\right\} \) seien die beiden Funktionen \( f: A \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) und \( g: B \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( \begin{array}{r} f(x, y)=\left(\ln (x y), \cos \left(x^{2}+y\right), e^{x}\right) \\ g(u, v, w)=e^{u}+v w+\ln (w) . \end{array} \)

Zeigen Sie, dass \( h:=g \circ f \) auf \( A \) differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Problem/Ansatz:

Hallöchen zusammen,

ich sitze aktuell an dieser Aufgabe.

Ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt…

Um die Differenzierbarkeit von h zu zeigen würde ich g und f zuerst getrennt voneinander betrachten. Ich denke, dass beide differenzierbar sind und daraus würde dann folgen, dass h als Komposition differenzierbarer Funktionen ebenfalls differenzierbar ist.

Um folglich die Ableitung zu bestimmen muss ich dann glaube ich die partiellen Ableitungen bestimmen.

Geht meine erste Idee erstmal in die richtige Richtung?

Ich freue mich wie immer über Antworten und Tipps :)

Answer 1

Soweit in Ordnung. Für die Ableitung kannst Du h ausrechnen und davon dann die part. Abl.. Oder mit der mehrdimensionalen Kettenregel drangehen.

Um zu üben, mach beide Wege - muss das gleiche rauskommen.

Comments

Alsoooo ich denke ich habe die Aufgabe jetzt gelöst.

Um die Differenzierbarkeit von h zu zeigen, habe ich zuerst die partiellen Ableitungen von f und h bestimmt (bzw. die Jacobi-Matrizen) und dann gesagt, dass h als Komposition differenzierbarer Funktionen ebenfalls differenzierbar ist.

Um folglich die Ableitungen von h zu bestimmen habe ich die Kettenregel und folgende Formel verwendet:

\( \nabla h(x, y)=\nabla g(f(x, y)) \cdot \nabla f(x, y) \)

\( J_{h}(x, y)=J_{g}(f(x, y)) \cdot J_{f}(x, y) \)

Daraus folgen letztendlich die Ableitungen:

\( \begin{array}{l}\frac{\partial h}{\partial x}(x, y)=y-2 x e^{x} \sin \left(x^{2}+y\right)+\cos \left(x^{2}+y\right) e^{x}+1 \\ \frac{\partial h}{\partial y}(x, y)=x-e^{x} \sin \left(x^{2}+y\right)\end{array} \)

Damit habe ich die Differenzierbarkeit gezeigt und die Ableitungen berechnet.

Ist das so richtig?

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Ergebnis stimmt auf jeden Fall. Wenn du das mit der Kettenregel berechnet hast, rechne zur Übung auch ohne (also \(g\circ f\) ausrechnen und dann davon den Gradienten), muss dasselbe rauskommen.

Und: um Differenzierbarkeit nachzuweisen, braucht man keine Ableitungen auszurechnen.

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Okay das werde ich als Übung nochmal nachrechnen.

Und zur Differenzierbarkeit: Heißt das ich habe sie noch nicht gezeigt/beweisen?

Wie soll ich es dann machen?

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Die Differenzierbarkeit hast Du in deiner Frage ganz oben schon erledigt. ("Ich denke, dass ... würde..."). Ersetze nur die unsicher klingende Formulierung durch eine solide: f und g sind diffbar und daher auch h als deren Komposition.

Zuletzt hast du aber gesagt "um die Differenzierbarkeit zu zeigen, habe ich die partiellen Ableitungen bestimmt". Das ist dafür aber nicht nötig.

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Okay alles klar, ich verstehe!

Dankeschön!