Habe ich die Aufgabe richtig gemacht? (Den Teil mut Eigenräume ignorieren)
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Dann ist \( X_{A}(t)=0 \) für \( 2 a-t=0 \) oder \( t^{2}-2(a+1) t+4 a=0 \) Die quadrahische Gleichung hat die lösung \( t_{12}=a+1 \pm \sqrt{(a+1)^{2}-4 a}=a+1 \pm \sqrt{a^{2}-2 a+1} \) Die Diskriminanle \( a^{2}-2 a+1 \) verchhuindet für \( a=1 \) D.h. sei \( a=1 \), dann ist die lösung der quadrahishen Gleichung \( t_{12}=1+1+\sqrt{0}=2 \) kauch die lineare Glichung \( 2 a-t=0 \) hat damn die lösung \( t \overline{3} 2 \). Damit ist tür \( a=1 \) also \( t=2 \) eine dreitache Nullstelle von \( X_{A} \) in \( \mathbb{R} \). Sei \( a \neq 1 \). Es gilt \( t_{1 / 2}=a+1 \pm \sqrt{a^{2}-2 a+1}=a+1 \pm \sqrt{(a-1)^{2}}=a+1 \pm|a-1|^{a \neq 1}=a+1 \pm a-1 \& \) somit sind die Cossingen der quadraischen Gleichung \( t_{1}=2 a \& t_{2}=2 \). ti ist auch gleicheigh die löung der linearen Gleichung Damit ist tir \( a \neq 1, t_{1}=2 a \) e eine zweifade \& \( t_{2}=2 \) eine ein-tache Nullselle von \( \chi_{A} \) in \( \mathbb{R} \). Beruicksichhigt man noch, das uir im \( \mathbb{F}_{M} \) arbeien, so sind unsere Nullidellen \( x=\left\{\begin{array}{l}2 \text { firair für } a \neq 1\end{array}\right. \) gleich \( k \) diese sind die Eigenwerle von \( A \).
