Wann Variablen beim Lösen des LGS wählbar?

Question

Angenommen ich wäre beim Lösen eines LGS dabei die Gleichungen zu lösen und konnte beliebige Werte (x) einsetzen:

a + 2*b + 3*c = -5 + 4*x

Kann ich bei diesem Stand sagen, dass a, b, c=0 ist?

Comments

Mir ist nicht klar, wie du aus

a + 2*b + 3*c = -5 + 4*x

überhaupt auf irgendeinen Wert schließen möchtest.

Das sind grundsätzlich 4 Unbekannte, d.h. die 4. Unbekannte lässt sich natürlich ermitteln, wenn die restlichen 3 Unbekannten bekannt sind.

Aber wenn du für x = 0 wählst, dann kann schon mal nicht a = b = c = 0 gelten, weil dann die Gleichung nicht erfüllt wäre.

Bitte stelle die Frage im konkreten Zusammenhang. Geht es um ein spezielles Gleichungssystem, dann teile uns das einfach mit.

Je mehr wir über das Problem wissen um so präziser können wir antworten.

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…wenn die restlichen 3 Unbekannten bekannt sind.

Ist das nicht ein Widerspruch in sich?

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So bin ich vorgegangen:

Answer 1

Kann ich bei diesem Stand sagen, dass a, b, c=0 ist?

Ja. Aus der Gleichung

        \(a + 2b + 3c = -5 + 4x\)

wird dann die Gleichung kann dann zu

        \(0+2\cdot 0+3\cdot 0 = -5 + 4x\),

die zu

       \(x = \frac{5}{4}\)

umgeformt werden kann.

Schlussfolgerung aus der Rechnung ist dann, dass

        \(a=0,b=0,c=0,x = \frac{5}{4}\)

eine Lösung der Gleichung ist.

Es gibt aber weitere Lösungen.

Comments

sorry, im Kommentar unter der Frage habe ich die komplette aufgabe hochgeladen. Das x hatte ich schon frei gewählt

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Deine vierte Matrix ist falsch. Die dritte Zeile lautet korrekt

        \(\begin{matrix}0&0&0&0&0&-16&-48&0\end{matrix}\).

Zeilenstufenform ist somit

        \(\begin{pmatrix}1&2&3&1&- 2&1&6&-4\\0&0&0&-1&-2&-1&-5&-1\\0&0&0&0&0&-16&-48&0\\ 0&0&0&0&0 &0&0&0\end{pmatrix}\)

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Ich würde noch weiter in reduzierte Zeilenstufenform umformen. Das heißt über Einträgen, die eine neue Stufe beginnen, stehen nur Nullen und Einträge, die eine neue Stufe beginnen, sind \(1\). Dazu:

1. Dritte Zeile durch -16 teilen.
2. Zweite Zeile mit -1 multiplizieren.
3. Von der zweiten Zeile die dritte abziehen.
   
4. Von der ersten Zeile die dritte abziehen.
   
5. Von der ersten Zeile die zweite abziehen.

Das nennt sich dann Gauß-Jordan-Verfahren und du bekommst

         \(\begin{pmatrix} 1&2&3&0&- 4&0&1&-5\cr 0&0&0&1&2&0&2&1\cr 0&0&0&0&0&1&3&0\cr 0&0&0&0&0&0&0&0 \cr\end{pmatrix}\)

Jetzt kannst du die Lösungen ablesen. Bezeichnet man die Variablen von links nach rechts mit \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) und \(g\), dann ist

• \(a=-5-2b-3c+4e-g\)
  
• \(d=1-2e-2g\)
  
• \(f = 0-3g\)
  

und \(b\), \(c\), \(e\) und \(g\) sind beliebig wählbar. In der Matrix erkennt man Variablen, die beliebig wählbar sind daran, dass in der entsprechenden Spalte keine neue Stufe beginnt.

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Ich kann die Lösung von Oswald bestätigen. Sollte etwas unklar sein, dann frag einfach nach.

Wenn du es lieber nach deinem Verfahren machen möchtest, denk nur daran in der 4. Matrix die +48 durch -48 zu ersetzen.