Aus der Integrierbarkeit von f folgt die von 1/f

Question

Aufgabe:

Es sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine integrierbare Funktion, für die ein \( C>0 \) mit \( f(x) \geq C \) für alle \( x \in[a, b] \) existiert. Zeigen Sie, dass dann auch \( \frac{1}{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) integrierbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich bei dieser Aufgabe von f zu 1/f gelangen kann, ich sehe da aktuell noch kein wirksames Argument.

Angefangen habe ich damit 1/f(x) nach oben hin abzuschätzen und dann könnte ich ja auch sagen, dass es eine Treppenfunktion gibt, die größer als 1/f(x) ist, aber ich weiß nicht, wie ich die Integrierbarkeit von f(x) damit verbinden kann,

Comments

Riemann-Integrierbarkeit handelt ja von Zerlegungen und Ober- und Untersummen.

Überlege zunächst, wie für \(a \leq s <t \leq b\)

$$\sup\{f(x) \mid x \in [s,t]\}  \quad \inf\{f(x) \mid x \in [s,t]\}$$

mit

$$\sup\{1/f(x) \mid x \in [s,t]\}  \quad \inf\{1/f(x) \mid x \in [s,t]\}$$

in Beziehung stehen.

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Danke, das hatte ich schon probiert. Ich komme dann nur nicht wirklich weiter, weil ich auch indem Kontext von sup bzw. inf nicht weiß, wann ich 1/f mit f abschätzen bzw. gleichsetzen kann. Gibt es da Rechenregeln, denen man sich im Rechen mit z.B. dem Supremum bedienen kann?

Ein weiterer Ansatz von mir, war es die Gleichheit mit den Riemannsummen zu benutzen, nur da weiß ich auch nicht bzw. konnte ich auch bis jetzt noch nicht 1/f abschätzen oder gleichsetzen mit irgendeinem Ausdruck mit f...

Answer 1

Fall ihr schon das Lebesgue-Kriterium für die Riemann-Integrierbarkeit hattet, kannst du so argumentieren:

\(f\) ist auf \([a,b]\) beschränkt und Lebesgue-fast überall stetig. Da \(f(x) \geq C > 0\) gilt, ist auch \( \frac 1f\) auf \( [a,b] \) beschränkt und Lebesgue-fast überall stetig. Also ist \( \frac 1f \) Riemann-integrierbar.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort!

Lebesgue-Integrierbarkeit hatten wir leider noch nicht. Hast du noch eine andere Idee?

Answer 2

ES sei \(a=t_0<t_1< \ldots t_n=b\) eine Zerlegung des Intervalls \([a,b]\). \(p_i,q_i\) bezeichnen jeweils das Infimum bzw. Supremum der \(f(x)\) auf dem Teilintervall \([t_{i-1},t_i]\). Dann gilt für \(x \in [t_{i-1},t_i]\):

$$p_i \leq f(x)\leq q_i \Rightarrow \frac{1}{q_i} \leq \frac{1}{f(x)}\leq \frac{1}{p_i}$$

Damit gilt für die Obersumme / Untersumme zur Zerlegung Z:

$$OS(1/f,Z)-US(1/f,z) \leq \sum_{i=1}^n (\frac{1}{p_i} -\frac{1}{q_i})(t_i-t_{i-1})= \sum_{i=1}^n (\frac{q_i-p_i}{p_iq_i})(t_i-t_{i-1})\\\quad \leq \frac{1}{c^2}\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)(t_i-t_{i-1})=\frac{1}{c^2}(OS(f,z)-US(f,z))$$

Wenn ein \(\epsilon>0\) vorgegeben ist, wählen wir eine Zerlegung Z mit \(OS(f,Z)-US(f,Z)<c^2\epsilon\) - das geht weil f R-integrierbar ist -. Dann folgt \(OS(1/f,Z)-US(1/f,Z)<\epsilon\). Also ist 1/f integrierbar.