LGS lösen nach t und bestimmen für t ungleich 0

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Anfgate \( b \)
\( \begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}=1 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+x_{2}+t x_{3}=1 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow[\mathbb{I I}-\mathbb{I}]{ }\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & +1 & 1 \end{array}\right) \underset{\mathbb{I} \cdot 2}{ }\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & t-1 & 1 \end{array}\right) \\ \xrightarrow[I-I]{ }\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \\ \text { I: } 2 x_{1}+x_{2}+0=1 \\ \Rightarrow \text { II: } 0+x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ \text { III: } 0+0+(t-1) x_{3}=1 \\ \end{array} \)
\( \Rightarrow \begin{array}{l} \text { I: }: 2 x_{1}+x_{2}+0=1 \\ \text { II: } 0+x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ \text { II: } 0+0+(t-1) x_{3}=1 \end{array} \)

III: nach \( x_{3} \) aufloien:
II: mach \( x_{2} \) auffien:
\( \begin{array}{l} (t-1) x_{3}=1 /: x_{3} \\ x_{2}+2 x_{3}=-1 / x_{3}=\frac{1}{1-1} \\ \Leftrightarrow \quad t-1=\frac{1}{x_{3}} /\left(s^{-1}\right. \\ \Leftrightarrow x_{2}+2 \cdot\left(\frac{1}{1-1}\right)=-1 /+1 /-x_{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{1-1}=x_{3} \\ \Leftrightarrow \frac{2}{1-1}+1=-x_{2} \\ \Leftrightarrow-\left(\frac{2}{1-1}+\frac{t-1}{1-1}\right)=x_{2} \\ \Leftrightarrow-\left(\frac{t+1}{t-1}\right)=x_{2} \\ \end{array} \)

I: rach \( x_{1} \) uufloiten: \( \quad \Rightarrow x_{1}=\frac{t}{t-1}, x_{2}=-\left(\frac{t+1}{t-1}\right), x_{3}=\frac{1}{t-1}, t \neq 1 \)
\( \begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}=1 \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}-\frac{m_{1}}{t-1}=1 \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}=1^{\frac{t+1}{t-1}} /: 2 \\ \Leftrightarrow x_{1}=\frac{1}{2}+\frac{t+1}{2 \cdot(1-1)} \\ \Leftrightarrow x_{1}=\frac{1(1-1)}{2(1-1)}+\frac{t+1}{2(t-1)} \\ \Leftrightarrow x_{1}=\frac{t-1}{x(t-1)}+\frac{t+1}{2(t-1)}=\frac{2 z+}{2(t-1)}=\frac{t}{t-1} \\ \end{array} \)
\( x_{1}+x_{2}+x_{3}=9 \)

Problem/Ansatz:

Hallo, darf ich die zeile aus dem lgs am anfangen verwenden (gelb markiert) um schlussendlich t zu bestimmen oder ist das schon so die Lösung am ende?

Answer 1

Deine Matrix-Umformungen sind so in Ordnung. Was "die Lösung" ist, kann man erst sagen, wenn man die Aufgabenstellung kennt. Die solltest Du mal mitliefern (in der Titelzeile steht nichts verwertbares).

Answer 2

Du darfst immer alle Gleichungen des Gleichungssystems benutzen, also ja. Durch die Umformungen wandelst du das LGS ja nur in ein äquivalentes LGS um, das heißt, dass die Lösungen all dieser Gleichungssysteme identisch sein müssen.

An der Stelle, wo du durch \(x_3\) dividierst, solltest du unbedingt anmerken, dass du an dieser Stelle \(x_3\neq 0\) betrachtest. Den Fall \(x_3=0\) müsstest du dir dann noch einmal separat anschauen.

Answer 3

Aloha :)

Die Umformungen des Gleichungssystems hast du richtig gemacht:$$\begin{array}{rrr|r}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline2 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 2 & -1\\0 & 0 & t-1 & 1\end{array}$$

Für den Fall \((t=1)\) hat das Gleichungssystem keine Lösung, denn in diesem Fall lautet die letzte Gleichung:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=1\quad\text{bzw.}\quad 0=1$$und ist von keinem Tripel \((x_1;x_2;x_3)\) erfüllbar.

Für den Fall \(t\ne1\) würde ich das Gleichungssystem zunächst noch weiter vereinfachen. Zum Ablesen der Lösung eignen sich Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins besonders gut. Daher wollen wir möglichst viele solcher Spalten haben:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Operation}\\\hline2 & 1 & 0 & 1 & -Z_2\\0 & 1 & 2 & -1\\0 & 0 & t-1 & 1 & \div(t-1)\\\hline2 & 0 & -2 & 2 & \div2\\0 & \pink1 & 2 & -1\\0 & 0 & 1 & \frac{1}{t-1}\\[1ex]\hline\pink1 & 0 & -1 & 1 &+Z_3\\0 & \pink1 & 2 & -1 & -2Z_3\\0 & 0 & 1 & \frac{1}{t-1}\\[1ex]\hline\\[-2ex]\pink1 & 0 & 0 & 1+\frac{1}{t-1}\\[1ex]0 & \pink1 & 0 & -1-\frac{2}{t-1}\\[1ex]0 & 0 &\pink1 & \frac{1}{t-1}\end{array}$$

Für \((t\ne1)\) ist das Gleichungssystem also eindeutig lösbar:$$x_1=1+\frac{1}{t-1}=\frac{t}{t-1}$$$$x_2=-1-\frac{2}{t-1}=-\frac{t+1}{t-1}$$$$x_3=\frac{1}{t-1}$$