Beweis: Wenn A regulär, dann auch A mal B.

Question

Aufgabe:

Seien \( A, B \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) mit \( B \) regulär. Beweisen Sie folgende Aussage: \( A \) ist genau dann regulär, wenn \( A \cdot B \) regulär ist.

Hinweis: das Produkt zweier regulärer Matrizen ist regulär und \( A=(A \cdot B) \cdot B^{-1} \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Hinweis leider nicht kann mir den irgendwer genauer erklären?

Answer 1

Hallo.
Der Hinweis stellt einfach allgemein die Beziehung her. Wenn B regulär ist, so ist BB^(-1) die Einheitsmatrix. Dann kannst du also A als ABB^(-1) schreiben, da ja BB^(-1) die Einheitsmatrix ist und die Matrix A nicht ändert.

Nun der Beweis.
Sei A regulär => det(A) ≠ 0. Da B nach Annahme auch regulär ist, gilt auch det(B) ≠ 0. Das Produkt ist det(AB) = det(A)det(B) und das kann wegen det(A),det(B) ≠ 0 auch nicht verschwinden. Daraus folgt det(AB) ≠ 0, wodurch auch AB regulär ist.
Sei umgekehrt AB regulär. Dann gilt 0 ≠ det(AB) = det(A)det(B). Da das Produkt also nicht verschwinden darf, muss det(A),det(B) ≠ 0 gelten. Insbesondere also auch det(A) ≠ 0. Damit ist A regulär. Für diese Richtung haben wir gar nicht mal gebraucht, das B auch regulär sein muss.

Answer 2

Es sind zwei Aussagen zu zeigen:

\(A\) regulär \(\implies A\cdot B\) regulär: Dazu brauchst Du nicht den Hinweis.

\(A\cdot B\) regulär \(\implies A\) regulär: Dazu brauchst Du den Hinweis.

Nun fang an.